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Por medio del método de cascarones cilíndricos, por WikiMatematica.org
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Por medio del método de cascarones cilíndricos

De por WikiMatematica.org

Contenido

Explicación

Este método sirve para encontrar el volumen de sólidos de revolución, muchas veces este metodo es mas fácil de aplicar que el método de discos o el de arandelas, debido a que en estos dos últimos métodos es difícil despejar las variables de la función y ponerlas en términos de una variable en especifico dependiendo del eje de rotación. Un cascarón cilíndrico es un solido acotado por 2 cilíndros circulares rectos como se ve en el bosquejo. El cilindro está definido por el radio interno, el radio externo y por la altura.

Cilindro.png

Se observa \Delta x.
Se entiende que la altura del cilindro es "f(x)".


Demostración de la Ecuacion General

Sabiendo que el volumen de un cilindro es el área de la base por la altura, entonces:

V=(área-de-la-base)*(altura)

V=\pi r{_{2}}^{2}h-\pi r{_{1}}^{2}h

V=\pi (r{_{2}}^{2}- r{_{1}}^{2})h

V=\pi (r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})h

radio \: promedio = \frac{r_2+r_1}{2}

V=2\pi\frac{(r_{2}+r_{1})}{2}(r_{2}-r_{1})h

V=2\pi x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}

V\cong \sum_{i=1}^{n}2\pi x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}

   V=\int_{a}^{b}2\pi x f(x)dx

Ejemplos

Ejemplo # 1

Grafica.jpg

y la hacemos girar entorno al eje y.

Cascaron.jpg

sabemos que el area de un clindro es igual a

Cilindro.jpg

por lo tanto


V_{T}=\pi r{_{2}}^{2}h-\pi r{_{1}}^{2}h


V_{T}=\pi (r{_{2}}^{2}- r{_{1}}^{2})h


V_{T}=\pi (r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})h


V_{T}=2\pi\frac{(r_{2}-r_{1})}{2}(r_{2}-r_{1})h


V_{T}=2\pi x_{i}


V_{T}=2\pi x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}


V_{T}\cong \sum_{i=1}^{n}2\pi x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}


V=\int_{a}^{b}2\pi x f(x)dx

Encontramos los ceros de la funcion

x^{2}(2-x)=0

* x=0

2-x=0

* x = 2

por lo tanto evaluamos en el intervalo de x\epsilon \left [ 0,2 \right ]

2\pi \int_{0}^{2}x(2x^{2}-x^{3})dx

donde x es el radio


(2x^{2}-x^{3}) la altura y


dx el ancho

Resolvemos

V=2\pi \left [ \frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{5}x^{5}|_{0}^{2} \right ]

V=2\pi \left [ 8-\frac{32}{5} \right ]

  V=\frac{16\pi }{5}u^{3}


Ejemplo # 2

Calcular V del sólido.

y=6x-x^2

y=0


6x-x^2=0

x(6-x)=0

x_1=0

x_2=6


V=\int_{0}^{6}2\pi x (6x-x^2)dx

V=2\pi\int_{0}^{6} 6x^2-x^3dx

V=2\pi[2x^3-\frac{x^4}{4}]|_{0}^{6}


  V=216\pi U^{3}


Ejemplo # 3

Calcular V del sólido que esta encerado por las funciones:


y=x^2 y x=2 que esta girando sobre el eje x=4.


Al resolver ejercicios de esta indole lo que hay que encontrar son 4 cosas:


1. Radio. 2. Altura. 3. Grosor del cilindro. 4. Intervalo de integracion.

1. Radio es la distancia del eje de rotacion a un punto x_{i} en la grafica , el radio en este caso seria 4 - x .

2. Altura viene dado por la funcion y=x^2


3. El grosor de los cilindros es \Delta x


4. Intervalo de integracion, el intervalo, en este caso los cilindros se mueven de 0 a 2 ya que la grafica queda limitada por la funcion x=2

entonces el integral resulta en :


v = 2\pi\int_{0}^{2}(4-x)x^2dx

Se multiplica:

= 2\pi\int_{0}^{2}4x^2-x^3dx


Por propiedad de linealidad de la integral la suma en una integral es la suma de las integrales.


= 2\pi\int_{0}^{2}4x^2dx   -  2\pi\int_{0}^{2}x^3dx


Se saca la primitiva de la funcion para luego evaluarla en el limite superior menos evaluada en el limite inferior esto se puede realizar gracias al teorema fundamental del calculo.


= \left (8\pi/3)x^3   \right |_{0}^{2}   - \left (\pi/2)x^4 \right |_{0}^{2}


=  (8\pi/3)2^3 - (\pi/2)2^4


 64\pi/3 - 8\pi


40\pi/3

  40\pi/3   u^3

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