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Por medio del método de discos

De por WikiMatematica.org

El volumen de hacer rotar  la función desde 'a' hasta 'b'.

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo A= \pi r^2, y el ancho será un \Delta x. Es importante saber el eje de rotacion, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo si rotaramos la funcion en el eje y, despejamos la funcion dependiendo de y. Siendo el ancho del disco \Delta y.

Por lo tanto,

V  \cong \sum_{i=1}^{n} \pi r^2 \Delta x, n = Cantidad de discos usados

Usualmente el radio del disco esta dado por le función. Para estos casos, haciendo el numero de discos tender al infinito:

V  = \lim_{n \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=1}^{n} [f(x\sub_{i})]^2 \Delta x, x\sub_{i} = a + \frac{i}{n}

Ahora lo cambiamos a forma de integral (si a es el limite inferior y b es el limite superior):

V  = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2  dx .</br>

En el caso de que el radio no este dado por la función, debemos encontrarlo segun las condiciones del problema dado.
De forma mas general, el volumen será:

V  = \pi \int_{a}^{b} r^2  dx (si r esta en función de x).

Contenido

METODO DEL DISCO

A. El eje de rotación forma parte del contorno del área plana.

Figura 35-2.JPG

1. Se traza un diagrama indicando el área generatíz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo generico.

2. Se halla el volúmen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos.

3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectágulos crece indefinidamente.

 V =\int_{a}^{b} \pi f(x)^2 dx

Ejemplo

Hallar el volúmen generado al girar el área limitada por la parábola y^2 = 8x alrededor de la ordenada correspondiente a x = 2.

Dividiendo el área mediente franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de volúmen  \pi ((2-x)^2)\Delta y. El volúmen pedido será:


 V =\int_{-4}^{4} \pi \left ( (2-x)^2 \right )dy = 2 \pi \int_{0}^{4} (2-x)^2 \right )dy

 = 2 \pi \int_{0}^{4}( (2-(y^2/8))^2 \right )dy

V=256 \pi u^3 /15

El eje de rotación no forma parte del contorno del área plana

Figura 35-3.JPG

1. Se procede como en el apartado (1) anterior.

2. Se prolongan los lados del rectángulo genérico, ABCD, hasta que corten al eje de rotación en E y en F. Cuando éste rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilíndro cuyo volúmen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos EABF y ECDF al girar con respecto al mismo eje. Se halla la diferencia de éstos dos volúmenes y se procede como en el apartado (2) anterior.

3. Se procede como en el apartado (3) anterior.

Ejemplo

Hallar el volúmen generado en la rotación del área limitada por y^2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y.


Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y, se produce un disco cuyo volúmen es igual a la diferencia entre volúmenes generados al girar los rectángulos ECDF(de dimensiones 2 por \Delta y y EABF (de dimensiones x por \Delta y con respecto al eje y, es decir, \pi 2^2 \Delta y - \pi x^2 \Delta y. El volúmen que se desea encontrar será:

V =\int_{-4}^{4} 4 \pi dy - \int_{-4}^{4} \pi x^2 dy

= 2 \pi \int_{0}^{4} (4-x^2)dy

= 2 \pi \int_{0}^{4} (4-(y^4/64)dy


= 128 \pi u^3 /5

Ejemplo # 1

Ejemplo 1. f(x) = x^3. Volúmenes por el método de discos
  • Encontrar el volúmen del sólido obtenido al hacer girar la región limitada por
 y = x^{3}
 y = 8
 x = 0


Al hacer girar la figura sobre el eje Y, podemos "cortar" discos de altura  \Delta y y el radio sería x , entonces:  y=x^{3} => x= \sqrt[3]{y}
Al tener esto podemos ver que para encontrar el volúmen del disco es lo mismo que obtener el volúmen a un cilíndro.
Entonces:

V=\pi  x^{2}\Delta y =\pi  (\sqrt[3]{y})^{2}\Delta y = \pi  y^{2/3}\Delta y


Con esto tenemos el volúmen de un disco, y para encontrar el volúmen total para n-discos:

 \sum_{i=1}^{n} \pi y_{i}^{2/3}\Delta y_{i}


Para optimizar hacemos que n sea más grande, haciéndola tender al infinito:

 \lim_{n \to  \infty } \sum_{i=1}^{n} \pi y_{i}^{2/3}\Delta y_{i}


Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.

 \int_{0}^{8} \pi y^{\frac{3}{2}}dy


Resolviendo:

 \int_{0}^{8} \pi y^{\frac{3}{2}}dy=\Pi \int_{0}^{8}  y^{\frac{3}{2}}dy= \pi p\frac{3}{5}y^{\frac{5}{3}}|_{0}^{8}


Evaluamos:

\pi \frac{3}{5}y^{\frac{5}{3}}|_{0}^{8}=\frac{96\pi}{5}


--Jorgetr 16:55 8 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 2

Ejemplo 2. f(x) = x^2. Volúmenes por el método de discos.
  • Estimar el volúmen del siguiente sólido:
y=x^{2}
x=1
y=0

Girándolo alrededor de eje x.

Tenemos que el ancho del cilíndro obtenido del corte de un segmento al girar la figura es de  \Delta x y el radio queda definido por la parábola r=y=x^{2} obteniendo el volúmen del cilindro:


 V= \pi (x^{2})^{2} \Delta x =\pi x^{4} \Delta x

Calculamos para n-cilíndros y optimizamos el área con n-cilindros.

\lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n}\pi x^{4}\Delta x

Reescribimos como la integral respecto de x variando de 0 a 1 y resolvemos.

\int_{0}^{1}\pi x^{4} dx=\pi\int_{0}^{1} x^{4} dx=\frac{x^{5}}{5}\pi\: |_{0}^{1} = \frac{\pi}{5}


--Jorgetr 18:05 8 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 3

Ejemplo 3. f(x) = 1/x. Volúmenes por el método de discos.
  • Estimar el volúmen del siguiente sólido:
y=\frac{1}{x}
x=1
x=2
y=0


Girada sobre el eje x.

Tenemos que el ancho de los cilíndros sería: \Delta x. Radio:  r = \frac{1}{x} .
Calculamos para n-cilindros y optimizamos el area con n-cilindros.

\lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n}\pi (\frac{1}{x})^{2}\Delta x


Reescribimos como la integral respecto de x variando de 0 a 1 y resolvemos.

\int_{1}^{2}\pi \frac{1}{x^{2}} dx=\pi\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}} dx=-\pi x^{-1}\: |_{1}^{2} = \frac{\pi}{2}


--Jorgetr 19:22 8 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 4

Ejercicio 3. f(x) = x^2. Volúmenes por el método de discos.
  • Encontrar el volúmen del sólido:

y=x^2 desde x=0 hasta x=2

a) Alrededor del eje x

b) Alrededor del eje y


a) V=\int_{0}^{2}\pi [x^2]^2dx

=\pi\int_{0}^{2} [x^4]dx
=\pi[\frac{1}{5}x^5]|_{0}^{2}
=\frac{32\pi}{5}U^3


b)x=\sqrt{y}

0=\sqrt{y}, 2=\sqrt{y}
y=0
y=4
V=\int_{0}^{4}\pi [\sqrt{y}]^2dy
=\pi\int_{0}^{4} ydy
=\pi[\frac{1}{2}y^2]|_{0}^{4}
={8\pi}U^3

Ejemplo # 5

  • Encontrar V alrededor del eje y.

y=x^3

y=8

x=0


x=y^{1/3}

0=y^{1/3}

y=0


V=\int_{0}^{8}\pi [y^{1/3}]^2dy

V=\pi[\frac{3}{5}y^{5/3}]|_{0}^{8}

V=\frac{96\pi}{5}U^3


Ejemplo # 6

Ejemplo 6. f(x) = x^(1/2). Volúmenes por el método de discos.
  • Determinar el volúmen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva y = \sqrt{x} con respecto al eje x desde 0 hasta 1.


El área de la sección transversal es:

A(x) = \pi (\sqrt{x})^2 = \pi x

y el volúmen del cilindro:

A(x) \Delta x = \pi x\Delta x

El sólido está entre x = 0 y x = 1, de modo que el volúmen es:

V = \int_{0}^{1} A(x)dx = \int_{0}^{1} \pi x dx = \pi \frac{x^2}{2} = \frac{\pi }{2}

--Juliocm 21:43 30 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 7

Ejemplo 7. f(x) = 2-(1/2)x. Volúmenes por el método de discos.
  • y=2-\frac{1}{2}x,y=0,x=1,x=2

Gira alrededor de eje x.

Calcular el volúmen de la figura generada.

Vi= \pi (2-\frac{1}{2}x_i)^2 \Delta xi
= \pi (4-x_i+\frac{1}{4}x_i^2) \Delta xi
= \pi \frac{(x_i-4)^2}{4} \Delta x_i
 V \cong \sum_{i=1}^{n} \frac{\pi}{4} (x_i-4)^2 \Delta x_i
 V = \frac{\pi}{4}\lim_{x\rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n}  (x_i-4)^2 \Delta x_i
 =\frac{\pi}{4} \int_{1}^{2} x^2 - 8x +16\quad dx

Integramos.

 \frac{\pi}{4}(\frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x) \bigg|_{1}^{2}

Por teorema fundamental e calculo.

 \frac{\pi}{4}(\frac{8}{3}-16+32-\frac{1}{3}+4-16) =  \frac{19}{12} \pi u^2

--Antonio Moran 22:33 30 sep 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 8

Ejemplo 8. f(x) = 1-x^2. Volúmenes por método de discos.
  • y=1-x^2,y=0

Gira alrededor de eje x...


Calcular el volúmen de la figura generada...Esfera

Vi= \pi (1-xi^2)^2 \Delta xi

Vi= \pi (1-2xi^2+xi^4) \Delta xi

 Vi \cong \sum_{i=1}^{n} \pi (1-2xi^2+xi^4) \Delta xi

 Vi = \lim_{x\rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \pi (1-2xi^2+xi^4) \Delta xi

 \pi \int_{-1}^{1} 1-2x^2+x^4 dx = \pi (\int_{-1}^{0} 1-2x^2+x^4 dx +  \int_{0}^{1} 1-2x^2+x^4) dx

Integramos..

 \pi(x-\frac{2}{3}x^3+ \frac{1}{5}x^5 )[-1,1]

Por teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow....

 1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}+1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}

 =  \frac{16}{15} \pi u^3

--Antonio Moran 23:02 30 sep 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 9

Ejemplo 9. Volúmenes por el método de discos.
  • Encontrar el volúmen de una pirámide con altura h y de base cuadrada con lado L.

Tomamos con triángulos semejantes al triángulo que forma la pirámide completa y tomamos un triángulo iésimo para dejarlo en función de y (altura el i-ésimo triángulo).

La relación que hay entre los dos triángulos es

\frac{y}{\frac{d}{2}} = \frac{h}{\frac{L}{2}} ó  \frac{y}{h} = \frac{\frac{d}{2}}{\frac{L}{2}}

Se relaciona las alturas con alturas y las bases con bases
La similitud sería la siguiente:

 \frac{y}{h} = \frac{d}{L}

La variable d la podemos dejar en función de "y" y las dos constantes que ya conocemos.

 d = \frac{Ly}{h}

Si la pirámide se vé la planta(desde arriba) podemos darnos cuenta que se forma por una sucesión de cuadrados que van haciéndose mas pequeños a medida que éstos aumentan, por lo tanto la base del iésimo triángulo podemos verlo como uno de los lados del cuadrado entonces ......

 d^2 = A(área de un cuadrado)

Entonces nuestra ecuación quedaría.

\frac{L^2y^2}{h^2}= A
 V_i= \frac{L^2yi^2}{h^2} \Delta yi
 V_i \cong \sum_{i=1}^{n} \frac{L^2y_i^2}{h^2} \Delta yi
 V_i = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n} \frac{L^2yi^2}{h^2} \Delta yi
 \int_{0}^{h} \frac{L^2y^2}{h^2} dy

A la hora de integrar L al cuadrado y H al cuadrado pueden salir de la integral ya que son constantes entonces solo nos queda "y" al cuadrado por integrar...

 \frac{L^2}{h^2} \int_{0}^{h} y^2 dy

Integramos...

 \frac{L^2}{h^2} * \frac{1}{3}y^3, [0,h]

Por teorema fundamental del cálculo...

 \frac{L^2}{h^2} * \frac{1}{3}(h^3) - \frac{L^2}{h^2}* \frac{1}{3}(0^3)

 \frac{L^2h}{3}u^3

--Antonio Moran 23:33 30 sep 2009 (CST)tonymoran

Algoritmo Método de Discos

1. Trazar las funciones y los limites. (No es recomendable construir la integral directamente)

2. Determinar el "radio" de los discos que generalmente es la función. (No siempre es la función)

3. Construir la integral con la forma :V  = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2  dx, .

4. Evaluar la Integral.

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