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Presión y fuerza hidrostática, por WikiMatematica.org
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Presión y fuerza hidrostática

De por WikiMatematica.org


Los buceadores de aguas profundas comprenden que la presión del agua se incrementa a medida que bucean cada vez más profundo. Esto se debe a que se incrementa el peso del agua sobre ellos.
En general, suponga que una placa horizontal delgada con área A metros cuadrados se sumerge en un fluido de densidad \rho kilogramos por metro cúbico a una profundidad d metros debajo de la superficie del fluido. El fluido directamente arriba de la placa tiene volumen V=Ad, de modo que su masa es m = \rhoV=\rho Ad.Así la fuerza que ejerce la placa sobre el fluido es:
F = mg = \rho gAd
donde g es la aceleración debida a la gravedad. La presión P sobre la placa se define como la fuerza por unidad de área:
P = \frac{F}{A}= \rho gd

La presión de un objeto a una profundidad h en un liquido es

P = w*h

donde w es el peso especifico del liquido (\text{densidad * gravedad})

\text{Fuerza = Presión * Area}

Presión de algunos materiales:

  • Alcohol etílico 49.4
  • Gliserina 78.6
  • Mercurio 849
  • Keroseno 51.2
  • Agua de mar 64
  • Agua 62.4

Contenido

Introducción

Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión:

  • La presión media, o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.


  • La presión hidrostática es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido.Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este. Se define por la fórmula:

P_h=\gamma h

P_h, Presión hidrostática.

\gamma = \rho g\, Peso específico.

h, profundidad bajo la superficie del fluido.

  • La presión hidrodinámica o es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido del estado de movimiento del mismo.

Presión hidrostática

Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes, sobre el fondo del recipiente que lo contiene y sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Esta presión, llamada presión hidrostática, provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la superficie del objeto sumergido sin importar la orientación que adopten las caras. Si el líquido fluyera, las fuerzas resultantes de las presiones ya no serían necesariamente perpendiculares a las superficies. Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura a la que esté sumergido el cuerpo y se calcula mediante la siguiente expresión:

\ P = \rho g h + P_0

Donde, usando unidades del SI,

  • P es la presión hidrostática (en pascales);
  • \rho es la densidad del líquido (en kilogramos sobre metro cúbico);
  • g es la aceleración de la gravedad (en metros sobre segundo al cuadrado);
  • h es la altura del fluido (en metros). Un liquido en equilibrio ejerce fuerzas perpendiculares sobre cualquier superficie sumergida en su interior
  • P_0 es la presión atmosférica

Presión media

En un fluido en reposo la presión en un punto es constante en cualquier dirección y por tanto la presión media, promediando en todas direcciones coincide con la presión hidrostática. Sin embargo, en un fluido en movimiento la presión en movimiento esto no necesariamente sucede así. En un fluido cualquiera la presión media se define a partir de la traza del tensor tensión del fluido:

\bar{p} = \frac{1}{3} \mbox{tr}(\boldsymbol\sigma)

En un fluido newtoniano la presión media coincide con la presión termodinámica o hidrodinámica en tres casos importantes:

  • Cuando el fluido está en reposo, en este caso, son iguales la presión media, la presión hidrostática y la presión termodinámica.
  • Cuando el fluido es incompresible.
  • Cuando la viscosidad volumétrica es nula.

Presión hidrodinámica

En un fluido en movimiento general, al medir la presión según diferentes direcciones alrededor de un punto esta no será constante, dependiendo la dirección donde la presión es máxima y mínima de la dirección y valor de la velocidad en ese punto.

De hecho en un fluido newtoniano cuya ecuación constitutiva, que relaciona el tensor tensión con el tensor velocidad de deformación:

\sigma_{i*j} = (-p+\lambda * d_{k*k})\delta_{i*j} +

2*\mu*d_{i*j} = (-p+\lambda \frac v_k \frac x_k)*\delta_{i*j} +\mu ( \frac v_i*x_j + \frac v_j*x_i)

Donde:

\sigma_{ij}, son las componentes del tensor tensión.

d_{ij}, son las componentes del tensor velocidad de deformación.

v_i, son las componentes del vector velocidad del fluido.

p, es la presión hidrodinámica.

\lambda, \mu\, son dos viscosidades que caracterizan el comportamiento del fluido.

Puede probarse que la presión hidrodinámica se relaciona con la presión media por:

p = \bar{p} + K(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{v})

Donde:

K = \lambda + 2\mu/3, es la viscosidad volumétrica.

\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{v}, es la divergencia del vector velocidad.

Referencia

Spencer, A. J.M. Continuum Mechanics, Logman, 1980.

Aplicaciones

Caso I: A la misma profundidad todo


Fluidos.png
W=100 lb/pies^3
h=90 pies
r=45 pies
P=\rho gh=wh

P=100 lb/pies^3 * h=90 pies = 9000 lb/pies^2

F=P*A=9000 lb/pies^2 * (\Pi * (45pies)^2) = 57.25*10^6 lb

Caso II: Distintas profundidades


Ejemplo 1: Una lamina triangular Isósceles con base de 6 pies y altura de 3 pies, es sumergida verticalmente con la base hacia arriba de manera que la base queda 2 pies por debajo de la superficie del agua de una piscina, encuentre el valor de la F del agua sobre la lámina.

Trianguloisos.png Ejesisosceles.png
Wagua=62.4 lb/pies^3
h=5 - y
L = 2x = 2y
\Delta F = W * (5-y) * 2y \Delta y
\Delta F = W * (10y-2y^2) \Delta y
\sum_{i=1}^n{W * (10y_i-2y_i^2) \Delta y}
\displaystyle\lim_{\Delta y \to{0}}\sum_{i=1}^n{W * (10y_i-2y_i^2) \Delta y}
W \displaystyle\int_{0}^3 10y-2y^2 dy = W\left |{5y^2- \frac{2}{3}y^3}\right |_{0}^3 = W(45-\frac{2}{3}3^3}) = 1684.8 lb

La fuerza F que ejerce el agua sobre la lamina es de 1684.8 lb

Ejemplo 2:

Cuboconsalida.png Cuboconsalidaejes.png x^2 = 4py
p = \frac{x^2}{4y}=\frac{1}{4}
x^2 = y
x = \sqrt[2]{y}
\Delta F = W * (2-y) * 2\sqrt[2]{y} \Delta y
\Delta F = 2W * (2\sqrt[2]{y}-\sqrt[3]{y^2}) \Delta y
F = \displaystyle\lim_{\Delta y \to{0}}\sum_{i=1}^n{2W * (2\sqrt[2]{y_i}-\sqrt[3]{y_{i}^2}) \Delta y
F = 2W \displaystyle\int_{0}^1 2\sqrt[2]{y}-\sqrt[3]{y^2} dy
F = 2W\left |{\frac{4}{3}y^\frac{3}{2}-\frac{2}{5}y^\frac{5}{2}|_{0}^1
F = 124.8 * \frac{14}{15} \approx 116.5

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