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Problemas de Valor Inicial y de Valor en la Frontera

De por WikiMatematica.org

Definicion Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es:

a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_{1}(x)\frac{dy}{dx} + a_{0}(x)y  


Sujeta a:

y(x_{0}) = y_{0},   y'(x_{0}) = y_{1},   ..... , y^{(n-1)}x_{0} = y_{n-1}   


Recordar que, para un problema como este, se busca una funcion definida en algun intervalo I que contenga a x_{0}, y satisfaga la ecuacion diferencial y las n condiciones iniciales especificadas anteriormente. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de solucion debe pasar por el punto (x_{0},y_{0}) y tener la pendiente y_{1} en ese punto.

Contenido

Existencia y Unicidad

Sean a_{n}(x),a_{n-1}(x),....,.a_{1}(x),a_{0}(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea a_n(x)0 para toda x del intervalo. Si x = x_{0} es cualquier punto en el intervalo, existe una solución en dicho intervalo y(x) del problema de valores iniciales representado por las ecuaciones a las que se encuentra sujeta.

Ejemplo #1

El problema de valores iniciales

3y''' + 5y'' - y' + 7y = 0
y(1) = 0, y'(1) = 0, y''(1) = 0

tiene la solucion trivial y = 0. Como la ecuacion de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema; en consecuencia, y = 0 es la unica solucion en cualquier intervalo que contenga x = 1.

Ejemplo #2

El lector debe comprobar que la función y = 3e^{2x} + e^{-2x} - 3x es una solución del problema de valores iniciales

y”- 4y = 12x, y(0) = 4, y’(0) = 1

La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) son continuos y q(x) = 10 en todo intervalo Z que contenga a x = 0. Debemos concluir que la función dada es la única solución en Z.

Ambos requisitos del teorema anterior:
1) que a_{i}(x), i = 0, 1,2, . . . , n sean continuos, y
2) que a_{n}(x)0 para toda x en Z, son importantes.

En forma específica, si u,,(x) = 0 para una x en el intervalo, la solución de un problema lineal de valores iniciales quizá no sea única o incluso no exista; por ejemplo, el lector debe comprobar que la función y = cx2 + x + 3 es una solución del problema de valores iniciales

x^{2}y” - 2xy’ + 2y = 6, y(0)=3, y’(0)= 1


Para x en el intervalo de menos infinito a infinito y cualquier valor del parámetro c. En otras palabras, no hay solución única para el problema. Aunque se satisface la mayor parte de las condiciones del teorema, las dificultades obvias estriban en que </tex>a_{2}(x) = x^{2}</tex> es cero cuando x = 0, y en que las condiciones iniciales se han impuesto en ese valor.

Problema de Valor en la Frontera

Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo ordeno mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estén especificadas en puntos distintos. Un problema como

a_{2}(x)\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x)\frac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x) 


Se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = y_{0} y y(b) = y_{1}, se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo Z que contiene a y b, cuya gráfica pasa por los dos puntos (u, y_{0}) y (b, y_{1}).

Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser

Y’(a) = Y_{0}, y(b) =Y_{1}
Y(a) = Y_{0}, y'(b) =Y_{1}
Y’(a) = Y_{0}, y'(b) =Y_{1},

En donde y_{0} y y_{1} representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera:
α_{1}y(a) + β_{1}y'(a) = γ_{1}
α_{2}y(b) + β_{2}y'(b) = γ_{2}


Ejemplo # 3

teniendo las funciones x=c_{1}cos 4t y x=c_{2}sen 4t donde x=c_{1} y x=c_{2} son constantes o parametros arbitrarios las cuales son sluciones de la ecuacion diferencial lineal

x''+16x=0

para x=c_{1}cos 4t las primeras derivadas respecto a t son x'=-4c_{1}sen 4ti y sen x''=-16c_{1}cos 4t al sustituir se obtiene lo siguiente:

-16c_{1}cos 4t + 16(c_{1}cos 4t)=0

y de igual manera para x=c_{2}sen 4t y x''=-16c_{2}cos 4t y cuando sustituimos obtenemos lo siguiente:

-16c_{2}sen 4t + 16(c_{2}sen 4t)=0

y se comprueba de forma directa que la combinacion lineal de las soluciones o la familia parametrica x=c_{1}cos 4t + c_{2}sen 4t tambien son solucion de la ecuacion diferencial.

(a) supongamos que ahora se desea determinar la solucion de la ecuacion que satisface mas las condiciones limite x(0)=0 x(\frac{\pi }{2})=0 observemos que la condicion 0=x=c_{1}cos 0 + c_{2}sen 0 implica que c_{1}=0 por consiguiente x=c_{2}sen 4t . Pero cuanto t=\frac{\pi }{2}, 0=c_{2}sen 2\pi se satisface que para cualquier eleccion de c_{2}puesto que 2\pi=0 por consigueinte que el problema es:

x''+16x=0, x(0)=0, x(\frac{\pi }{2})=0

tiene un numero infinito de soluciones como se muestra en la grafica. [1]

(b) si el problema de valores en la frontera se cambia a

x''+16x=0, x(0)=0, x(\frac{\pi }{8})=0

entonces x(0)=0, aun requiere que c_{1}=0 en la solucion (2). pero aplicar x(\frac{\pi }{8})=0 a x=c_{2} sen 4t requiere que 0=c_{2} sen (\frac{\pi}{2})=c_{2}*1 por consiguiente x=0 es una solucion de este nuevo problema de valores en la frontera de hecho se puede demostrar que x=0 es la unica solucion



(c) por ultimo si el problema de valores en la frontera se cambia a

x''+16x=0, x(0)=0, x(\frac{\pi }{2})=1

se encuentra de nuevo que x(0)=0, y que c_{1}=0 pero al aplicar x(\frac{\pi }{2})=1 a x=c_{2} sen 4t conduce a la contradiccion 1=c_{2} sen (\pi*2)=c_{2}*0=0 por consiguiente el problema de valores en la frontera no tiene solucion.

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