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Problemas de optimizacion

De por WikiMatematica.org


Contenido

Problemas de optimización

Los metodos para hallar valores extremos que hemos aprendido tienen aplicaciones practicas en muchas areas de nuestra vida. Una persona de negocios quiere minimizar los costos y maximizar las utilidaddes. El principio de Fermat, en optica, afirma que la luz sigue la trayectoria que recorre en el menor tiempo. Lo que en algunos casos se conoce como la linea recta. En esta sección trataremos de resolver problemas como lo de maximizar áreas, volúmenes y utilidades, minimizar distancias, tiempos y costos.

En la solucion de problemas practicos, el desafio mas grande suele ser convertir el problema en palabras en una problema matematico de optimazion, establecer la funcion que debe maximizarse o minimizarse. Reucerdo los principios de soluciòn de problemas.

#Comprenda el problema.
#Analogía : Intente casos especiales.
#Dibuje Diagramas.
Max/Min  z=f(x,y) Función Objetivo
Sujeto a,
         g(x,y)=k Restricción 


Pasos para la solucion de problemas de optimizacion

  1. COMPRENDA EL PROBLEMA: El primer paso, es leer el problema con cuidado hasta que se entienda con claridad. Hagase preguntas como: Cual es la incognita?, ¿Cuáles son las cantidades dadas?, ¿Cuáles son las condiciones dadas?.
  2. DIBUJE UN DIAGRAMA DEL PROBLEMA: En la mayor parte de los problemas, resulta util dibujar un diagrama e identificar en el las cantidades dadas requeridas.
  3. INTRODUZCA NOTACION: Asigne un simbolo a la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Por ejemplo V = volumen, h = altura, b = base etc.
  4. Escriba una fórmula para la función objetivo Q que se maximizará o minimizará, en términos de las variables.
  5. Utilice las condiciones del problema para eliminar todas, excepto una de esta variables, y por consiguiente expresar Q como una función de una sola variable.
  6. DERIVAR
  7. IGUALAR LA DERIVADA: A cero para encontrar los puntos criticos.
  8. SEGUNDA DERIVADA: Deducir con la prueba de la segunda derivada si los puntos criticos son máximos ó mínimos.
  9. DAR LA SOLUCION: Recuerda dar una solucion clara de su problema en notacion Ingenieril.

Otra Forma de verlo

  1. . Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
  2. . Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.
  3. .Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.
  4. . Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.
  5. . Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.


Tip:

Use siempre su intuición para obtener alguna idea de cuál debe de ser la solución correcta del problema. Para muchos problemas físicos puede tener una estimación aproximada del valor óptimo antes de que comience a realizar los detalles, lo cual lo guiará de forma mas fácil durante la resolución del mismo.

Aplicaciones en la economía

Si C(x) es la función del costo, es lo mismo a decir que es el costo de producir x unidades de cierto producto, por lo tanto el costo marginal es la relación que existe entre el cambio de C respecto de la variable x. Para que se entienda de una manera mejor podemos decir que la función del costo marginales la derivada C'(x) de la función del costo.

Viéndolo desde el punto de vista del mercadeo, digamos que p(x) es le precio por unidad que la empresa o compañía carga si se venden x unidades. En este caso p se llama función de demanda o función precio y cabe esperar que sea una función decreciente con respecto a x. Si se venden x unidades y el precio por unidad es p(x).

El ingreso total es: R(x) = xp(x).

Si llamamos a R función de ingreso o función de ventas. La derivada R' de la función de ingreso se denomina función de ingreso marginal, y esta se conoce como la relación de cambio del ingreso con respecto al número de unidades vendidas.

Si se venden x unidades, después la utilidad total es: P(x) = R(x) - C(x).

Si llamamos a P la función utilidad. La función de utilidad marginal es P', la derivada de la función utilidad.

Para poder realizar los ejercicios donde se le pide que aplique dicha teoría descrita con anterioridad, debe de aplicar las funciones del costo marginal, el ingreso, y la de utilidad para minimizar costos o bien para maximizar los ingresos y la utilidad.

Ejemplos

Ejemplo #1

Encontrar dos numeros que sumados el resultado sea 100 y que su producto sea maximo.


Funcion objetivo: f(x,y)=xy
Restriccion: x+y=100


Despejar una variable de la restriccion: y=100-x


Sustituir en la funcion objetivo: f(x)=x(100-x) = 100x - x^2
con esto la funcion objetivo ya solo depende de una variable.


Derivar: f'(x)=100 - 2x


Igualar a cero la derivada para encontrar puntos criticos: 0=100 - 2x se ecuentra: x=50
si existieran muchos puntos criticos se deduciria el resultado con la prueba de la segunda derivada.


Respuesta: los numeros que hacen maximo la multiplicacion y su suma sea 100 son 50 y 50.


Ejemplo #2

Se desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y un area de 108 pulgadas cuadradas de superficie, que dimensiones tiene que tener la caja para que su volumen sea maximo?


Funcion objetivo: V(x,y)=x^2h (Donde x^2 representa la base y h la altura)
Restriccion: x^2+4xh=108


Despejar una variable de la restriccion: h=\frac{108-x^2}{4x}


Sustituir en la funcion objetivo: V(x)=x^2(\frac{108-x^2}{4x}) = 27x-\frac{x^3}{4}
con esto la funcion objetivo ya solo depende de una variable.


Derivar: V'(x)=27-\frac{3x^2}{4}


Igualar a cero la derivada para encontrar puntos criticos: 0=27-\frac{3x^2}{4} simplificando 3x^2=108 x=6 y  x=-6


Una respuesta negativa en el caso de que se esta buscando una medida para un objeto no tiene sentido.


Conociendo el valor de x ahora se puede obtener h=\frac{108-6^2}{4*6} y se llega a h = 3


Respuesta: las dimensiones de la caja son 6x6 pulgadas en la base y una altura de 3 pulgadas.


Ejemplo #3

Con cuatro pies de alambre se desean construir un circulo y un cuadrado, cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el area maxima posible?


Funcion objetivo: A=b^2 +  \pi r^2 (Donde  b^2 representa el area de un cuadrado y \pi r^2 el area de un circulo)

Restriccion:4b + 2 \pi r = 4 "ya que lo que buscamos es el diametro del cuadrado y el diametro del circulo".

Ahora despejamos "b" de la restriccion para luego sustituirla en la funcion objetiva:

 4b = 4 - 2 \pi r      

b=\frac{4-2 \pi r}{4} y simplificando se llega a b = 1 - 1/2 \pi r

sustituimos en la funcion objetiva y nos queda:


 A = (1 - 1/2 \pi r)^2  + \pi r^2

ahora a llegado el momento de Derivar,(derivamos luego de que ya ayamos sustituido y nos queda todo en funcion de "r":

 A'= 2(1 - 1/2 \pi r)( 1/2 \pi ) + 2 \pi r


 A'= (2 - \pi r)( 1/2 \pi ) + 2 \pi r

 A'= \pi - 1/2 \pi^2 r  + 2\pi r =0 aca igualo de una vez la funcion a 0.


 \pi + r(- 1/2 \pi^2  2\pi) = 0 aca factorice "r"

r=\frac{- \pi }{- 1/2 \pi^2  2\pi} aca despejamos "r"

r=\frac{- \pi }{ - \pi ( - 1/2 \pi - 2)} aca sacamos factor comun en el denominador de : \pi

ahora eliminamos tanto en el numerador como en el denominador a : \pi

y llegamos a:

r=\frac{- 1}{(- 1/2 \pi - 2)}

   r = 0.28 pies  " que es lo que se utilizaria para formar el diametro del circulo ".

ahora solo nos queda sustituir el valor de "r" en la siquiente ecuacion que ya habiamos despejado antes:

b = 1 - 1/2 \pi r

b = 1 - 1/2 \pi (0.28)

y nos da un valor de:

b = 0.560177028 pies  " que es lo que se utilizaria para formar el diametro del cuadro ".

Respuesta: Usaremos 0.560177028 pies de cable para formar el diametro del cuadro y 0.28 pies mas para formar el diametro del circulo, para comprobarlo pueden sustituir los valores de "b" y "r" en la restriccion y se daran cuenta que los valores son correctos ya que se cumple la igualdad..



--Hersonjmc 00:09 21 jul 2009 (UTC)Herson Marroquin 7/20/09

Ejemplo #4

Encuentre dos nùmeros cuyo producto sea 192 y suma minima sea un minimo.

Funcion Objetiva:

 x + y = min

Restriccion:

 xy = 192

Ahora despejamos "x": x = \frac{192}{y}

Ahora sustituimos en la Funcion Objetiva:

min = \frac{192}{y} + y lo que debemos hacer ahora es derivar esta funcion ya derivada queda de la siguiente forma:

min' = \frac{-192}{y^2 } + 1 = 0 de una vez la igualamos a 0.

el siguiente paso es despejar " y " :

y = \sqrt{192}

y = + 13.85 solo tomamos el valor + ya que el -(negativo) no es razonable tomarlo que al sustituirlo en la ecuacion de "prueba" no nos daria como resultado el valor establecido por la ecuacion.

ahora sustituimos en esta ecuacion (la cual ya la teniamos anteriormente) el valor de " y " de la siguiente forma:

x = \frac{192}{y}

x = \frac{192}{13.85}

x = 13.86

Y por ultimo lo comprobamos en la restriccion sustituyendo los valores de "x" y "y" y veremos que nos da el valor establecido cumpliendose asi la igualdad.

respuesta: los dos numeros son 13.86 y 13.85





--Hersonjmc 01:07 21 jul 2009 (UTC)Herson Marroquin 7/20/09

Ejemplo #5

Calcule el area del rectangulo mas grande que se puede inscribir en un triangulo rectangulo cuyos catetos miden 5 y 7cm, si dos lados del rectangulo coinciden con los catetos.

Sabemos que si introducimos un rectangulo adentro del triangulo rectangulo, una de las esquinas del rectangulo (superior derecha) se topa con un punto de la hipotenusa del triangulo. Si llevamos nuestro triangulo a un plano cartesiano, nuestro eje en "Y" la coordenada (0,5) corresponde a la parte superior del triangulo y en el eje "X" la coordenada (7,0) corresponde a la parte inferior del triangulo; Al trazar una recta entre estos dos puntos se formara la hipotenusa del Triangulo. Dejaremos indicado el rectangulo como altura "y" y base "b", un punto del rectangulo (esquina superior derecha) toca un punto en la hipotenusa que denominaremos (x,y).

Realizacion del problema.

La funcion obejetiva del problema seria el area de un rectangulo que esta dada de la siguiente forma:

A(x,y)=x*y


Nuestra restriccion seria la ecuacion de pendiente interseccion, ya que la hipotenusa del triangulo en el palno cartesiano la podemos ver como una recta con una pendiente, m=-5/7 y esa recta tiene un inicio o punto interseccion en 5. Por lo tanto nuestra restriccion seria

y=\frac{-5}{7}x+5


Para poder lograr dejar nuestra funcion objetiva en funcion de una sola variable cambiamos la y de la restriccion para la de la funcion objetiva, quedaria de la siguiente manera:

A(x)=x*(\frac{-5}{7}x+5)

A(x)=(\frac{-5}{7}x^2+5x)


Ahora derivamos la funcion

A'(x)=(\frac{-10}{7}x+5)


Igualamos a 0, y despejamos x

\frac{-10}{7}x+5=0

\frac{-10}{7}x=-5

-10x=-35

x=\frac{-35}{-10}

x=3.5


Ahora sustituimos x en nuestra restriccion para poder encontrar el valor de y.

y=\frac{-5}{7}x+5

El valor de y es:

y=2.5

Para averiguar si es un maximo o un minimo realizamos el criterio de la segunda derivada.

A''(x)=\frac{-10}{7}


Ya que la segunda derivada quedo menor a 0 es un maximo relativo Por lo tanto las dimensiones del rectangulo mas grande que cabe dentro de este triangulo son x=3.5 y=2.5 y el Area total seria 8.75cm^2

--Antonio Moran 00:57 23 jul 2009 (UTC)tonymoran

Ejemplo # 6

El costo , en dolares , para producir x pares de jeans es

C(x)=2000+3x+0.01x^2+0.0002x^3

(a)Encontrar la funcion de costo marginal.
(b)Halle C'(100) y explique su significado.
(c)Compare C'(100) con el costo de fabricacion de la 101 esima yarda.

(a)C'(x)=3+0.02x+0.0006x^2

(b)C'(100)=3+0.02(100)+0.0006(100)^2

C'(100)=11

$11 el par, la tasa de cambio del costo al producirse el par de pantalones numero ciento uno. ===Ejemplo # 7=== Determine las dimensiones del rectángulo con el área más grande que se puede inscribir en un círculo de radio "r". 1) Planteamiento Función Objetivo:  2x2y = A(x,y)  Restricción:  x^2  + y^2 = r^2  2) Sustituir  x^2 = r^2 - y^2   x= \sqrt{ r^2 - y^2}  A(y) = 4y *\sqrt{ r^2 - y^2} 3) Derivar  A'(y) = 4y * 1/2 (r^2 - y^2)^{-1/2}* (-2y) + ( r^2 - y^2)^{1/2}* 4  A'(y) = \frac{ -4y^2} {( r^2 - y^2)^{1/2}}  +  4*( r^2 - y^2)^{1/2}  A'(y) = \frac{ -4y^2 -4y^2 + 4r^2} {( r^2 - y^2)^{1/2}}  A'(y) = \frac{ -8y^2 + 4r^2} {( r^2 - y^2)^{1/2}}  0 = { -8y^2 + 4r^2}  8y^2 = 4r^2  y^2 = \frac{ r^2} { 2}  y =  \sqrt { \frac{ r^2} { 2}}   y =    \frac{ \sqrt {2}*r}{ 2}   y = \sqrt {2}*r 4) Encontramos X  x =  \sqrt { r^2 - \frac { r }{2}    x =  \sqrt { \frac {r^2 }{2}    x =    \frac { \sqrt {2}*r }{2}    x =      \sqrt {2}*r }  5) Segunda derivada  A''(y) = \frac { (r^2 - y^2)^ {1/2}  * (-16y) - ( -8y^2 + 4r^2) * 1/2 (r^2 - y^2)^ {-1/2}* (-2y) }{{ r^2 - y^2}}  A''(y) < 0 = Maximo. ===Ejemplo #8 === Una constructora tiene 2,400 ft de de cerca para crear un campo rectangular recto que limita con un jardin. ¿ Cuales son las dimensiones del campo que tiene el área mas grande?. Nota: No necestia cercar a lo largo del jardin. 1) Planteamiento Función Objetivo:   xy = A(x,y)  Restricción:   2x + y = 2,400   2) Sustituir  y = 2,400 - 2x     A = x(2,400 - 2x)  A(x) = 2,400x - 2x^2  3) Derivar  A'(x) = 2400 -4x  0 = 2400 -4x  4x = 2400  x = 600 4) Encontramos Y  Y =  2400 -2(600)    Y =  1200  5) Segunda derivada  A''(x) =  -4  A''(x) < 0 = Maximo 5) Solución x = 600ft , y = 1200ft. ===Ejemplo #9 === Una compañia de zanahorias que dispone de 750 ft de cerca, desea cercar un área rectangular y luego dividirla en cuatro epacios iguales con un cercado en paralelo a un lado del rectángulo.¿ Cuál es el área total más grande podible de los cuatro corrales?. 1) Planteamiento Función Objetivo:   xy = A(x,y)  Restricción:   5y + 2x = 750   2) Sustituir  2y = 750 - 5x    y =\frac  {750 - 5x} {2}    A(x) = \frac   {750x - 5x^2} {2}      3) Derivar  A'(x) = \frac   {2* ( 750 - 10x)} {4}         0 =   1500 - 20x  20x = 1500  x = 75 4) Encontramos Y  2y = 750 - 5*(75)  2y = 375   y = 187.5  5) Segunda derivada  A''(x) = \frac   {-20} {16}   A''(x) = \frac   {-5} {4}   A''(x) < 0 = Maximo 5) Solución A = 187.5 * 75 = 14,062.5 ft^2. ==Ejemplo #10== Se va a fabricar una lata para que contenga 1L de aceite. Halle las dimenciones que minimizaran el costo del metal para fabricar la lata. Lo primero que tenemos que hacer es plantear nuestras funcion objetiva y ver cual es nuestra restriccion. Funcion objetiva :  A(r,h) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h
Restriccion :  V(r,h) = \pi r^2 h = 1000
Despues como siguiente paso es despejar de nuestra restriccion y substituir en nuesta funcion objetiva.
 h = \frac {1000} {\pi r^2}
 A(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \frac {1000} {\pi r^2} =  2 \pi r^2 + \frac {2000} {r}
Como siguente paso derivamos nuestra funcion ya sustituida y operar.
 A'(r) = 4 \pi r - \frac {2000} {r^2} =  \frac {4(\pi r^3 - 500)} {r^2} = 0
 r = 3\sqrt{\frac {500}{\pi}}
 h = 2r
Y por ultimo lo que nos queda hacer es comprovar si lo que tenemos es un minimo. Esto lo hacemos con la segunda derivada, si es mayor a 0 entonces es un minimo.  A''(r) = \frac {20 \pi r^3 - 4000}{r^3}
Al evaluar nuestra funcion con el radio nos queda como resultado  20 \pi > 0
entonces es un minimo. ==Ejemplo #11== Encuentre las dimensiones de un rectangulo con un perimetro de 100m cuya area sea lo mas grande posible. paso 1:
 A(x,y) = xy
S.A
 P(x,y) = 2x + 2y = 100
paso 2:
 x = 50 - y
 A(y) = (50 - y)y = 50y - y^2
paso3:
 A'(y)= 50 - 2y
 y = 25
 x = 25
paso4:
 A''(y)= -2 < 0 entonces es un maximo.
respuesta:
Las dimencionse del rectangulo son:
 y = 25
 x = 25
El area es:  625 m^2 ==Ejemplo #12== Un granjero quiere cercar una area de 1.5 millones de pies cuadrados de un campo rectangular, y luego dividirla a la mitad mediante una cerca paralela a uno de los lados del rectangulo ¿De que manera debe hacerlo para que los costos de la cerca sean minimos? paso 1:
 P(x,y) = 3x + 2y
S.A  A(x,y) = xy = 1500000
paso 2:
   x = \frac {1500000}{y}
   P(y) = 3\frac {1500000}{y} + 2y
   P(y) = \frac {4500000}{y} + 2y
paso 3:
   P'(y) = \frac {-4500000}{y^2} + 2 = 0
    \frac {-4500000 + 2y^2}{y^2} = 0
    y = 1500
    x = 1000
paso 4:
 P''(y)= \frac {9000000}{y} > 0
Por lo tanto es un minimo.
La dimenciones para que los costos sean minimos son:
    y = 1500 ft^2
    x = 1000 ft^2
==Ejemplo #13== Encuentre dos numero positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea un minimo. paso 1:
 S(x,y) = x + y
S.A  P(x,y) = xy = 100
paso 2:
 x = \frac {100}{y}
 S(y) y + \frac {100}{y}
paso 3:
 S'(y) = 1 - \frac {100}{y^2} = 0
  y = 10
  x = 10
paso 4:
 S''(y) = 200y > 0
Por lo tanto es un minimo.
Respuesta:
Los numeros son 10 y 10. ==Ejemplo #14== Un recipiente rectangular de almacenaje con la parte superior abierta debe tener un volumen de 10m^3. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta 10$ por metro cuadrado. El material para los costados cuesta 6$ por metro cuadrado. Encuentre las dimensiones del recipiente para obtener el menor costo.

1) Planteamiento

Función Objetivo:   20x^2 + 36xy = A(x,y)

Restricción:   2x^2y= 10m^3

2) Sustituir

 y =\frac  {10} {2x^2}

  y =\frac  {5} {x^2}

 P(x) = 20x^2 + 36x * \frac   {5} {x^2}

 P(x) = 20x^2 + \frac   {180} {x}

3) Derivar

 P'(x)= 40x +  \frac   {-180} {x^2}

 P'(x)= 40x -  \frac   {180} {x^2}

 0 =   40x^3 - 180

 180 = 40x^3

 x^3 = 4.5

 x = 1.65

4) Encontramos Y

 y =\frac  {5} {(1.65)^2}

 y = 1.84

5) Solución

R = Las dimensiones que tiene que tener para la caja para que su costo sea el mínimo son 1.65 y 1.84.

Ejemplo 15

Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que entre la cantidad más grande de luz.

Normanda.jpg

Solución:

Sea "h" la altura y "b" la base, el radio de la parte semicircular será: r=\frac{b}{2}

Perímetro: P= 2h+b+\pi r

Sustituyendo r:

P= 2h+b+\frac{\pi b}{2} = 30

Despejar para h:

h=\frac{30-b-\frac{b \pi }{2}}{2}


El área será:

A=bh + (\frac{\pi }{2})(\frac{b }{2})^2

Sustituyendo h en A:

A=b(\frac{30-b-\frac{b \pi }{2}}{2}) + (\frac{\pi }{2})(\frac{b }{2})^2

Derivando A:

A'=15-(1+\frac{\pi }{4})b=0

Despejando b:

b=\frac{15}{1+\frac{\pi }{4}} = \frac{60}{4+\pi }

Una vez encontrada b podemos encontrar h:

h=\frac{30}{4+\pi }

Respuesta: Las dimensiones de la ventana serán:

b= \frac{60}{4+\pi }

h=\frac{30}{4+\pi }

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