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Propiedades adicionales y aplicaciones de la transformada de Fourier

De por WikiMatematica.org

Contenido

I. LINEALIDAD



Si a y b son números y existen las transformadas de Fourier de f(t)y g(t), entonces:

                                         Q6.gif

Si a y b son números y existen las transformadas inversas de Fourier de F(w)y G(w), entonces:

                                          Q7.gif


EJEMPLO:

Calcular Q8.gif

Aplicando la propiedad de la linealidad

                                       Q9.gif
                                       Q10.gif


EJEMPLO:

Calcular Q11.gif

Aplicando la propiedad de la linealidad

                                       Q12.gif
                                       Q13.gif



II. TRASLACIÓN EN EL TIEMPO



T\left[f(t-t_o)\right]= e^{iwt}f'(w)
Demostración:
\int^{\infty}_{-\infty}f(t-t_o)e^{-iwt}dt

u= t-t_o

du=dt

t= u+t_o

\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e^{-iw(u+t_o)}du

\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e^{-iwu}e^{-iwt_o}du

e^{-iwt_o}\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e^{-iwu}du como u es muda entonces podemos escribir lo siguiente

e^{-iwt_o}f'(w) lo cual queriamos demostrar

Si Aa.gif y Ab.gif, entonces:

Ba.gif Es decir, la transformada de Fourier de la función f(t) traslada en el tiempo a Ad.gif, es igual a la transformada de Fourier de f(t) multiplicada por Ae.gif.

Para la transformada inversa, tenemos:

Si Af.gif, entonces:


                                    Ag.gif


EJEMPLO: Calcular A.gif

B.gif


EJEMPLO:

Calcular M1.gif donde

                                     M2.gif

Es una función pulso trasladada en el tiempo. El intervalo de duración del pulso es [3,7] siendo su punto medio 5, entonces Ad.gif = 5, siendo este el origen del pulso. El valor de a es la mitad de la longitud del intervalo, en este caso es 2 y el valor del pulso k es 6.

                                     M3.gif

Y aplicando la propiedad de traslación del tiempo:

 M4.gif

EJEMPLO:

Calcular: M5.gif

Aplicando la traslación del tiempo:


                                  M6.gif

donde


                                  M7.gif

por tanto

                                   M8.gif


EJEMPLO:

Calcular Q1.gif

Primero se aplica la propiedad de linealidad

                                         Q2.gif

luego se aplica la propiedad de traslación del tiempo

                                         Q3.gif
                                         Q5.gif

La solución es:

                                          Q4.gif

III. TRASLACIÓN EN LA FRECUENCIA



T\left[e^{iw_ot}f(t)\right]= f'(w-w_o)

Demostracion:

\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{iw_ot}e^{-iwt}dt

\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-it(w-w_o)}dt entonces = f'(w-w_o)


Si Q14.gif y Q15.gif es un número, entonces:

                                           Q16.gif

En forma inversa:

                                           Q17.gif

Ejemplo:

Calcular Q18.gif


Se realiza el producto en el exponente

                                            Q19.gif

Se identifica la propiedad de traslación en la frecuencia


                                     Q20.gif  Q22.gif

y se aplica

                            Q21.gif

entonces se obtiene

                                     Q23.gif


Ejemplo:

Calcular Z1.gif


Z2.gif


Z3.gif


Ejemplo:

Calcular Z4.gif

Aplicamos la propiedad de la linealidad:


Z5.gif

Se aplica la propiedad de traslación en la frecuencia:


Z6.gif

El resultado es:

Z7.gif


Ejemplo:

Calcular Z8.gif


Solución Z9.gif


Ejemplo:

Calcular Z10.gif

Se completa el cuadrado en el denominador:

Z11.gif


Se aplica la propiedad de la linealidad:


Z12.gif

Se aplica la propiedad de la traslación en la frecuencia:


Z13.gif

El resultado es:

Z14.gif


Ejemplo:

Calcular Z15.gif

Se aplica la propiedad de linealidad:


Z16.gif


Se aplica la propiedad de traslación en la frecuencia:


Z17.gif


Se aplica la propiedad de traslación en el tiempo:


Z18.gif


El resultado es:


Z19.gif


IV. SIMETRÍA

T\left[f'(t)\right]_{(w)}=2\pi f(w) sabemos que

f'(w)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-iwt}dt ahora vamos a escribir la transformada inversa de Fourier

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}f'(w)e^{iwt}dw
2\pi f(t)=\int^{\infty}_{-\infty}f'(w)e^{iwt}dw

vamos a hacer una sustitución en la cual w = n
entonces sustituimos 2\pi f(t)= \int^{\infty}_{-\infty}f(n)e^{int}dn vamos a decir que t = -t

2\pi f(-t)= T\left[f'(n)\right]_{(t)}

2\pi f(-w)= T\left[f'(t)\right]_{(w)} a lo que queríamos llegar.


V. ESCALAMIENTO

    Z20.gif        Z21.gif              


      I. a > 0:

\int^{\infty}_{-\infty}f(at)e^{-iwt}dt

u = at

du=adt

\frac{1}{a}du=dt

t=\frac{u}{a}

entonces escribimos de nuevo y tenemos lo siguiente

\frac{1}{a}\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e^{-i\frac{w}{a}u}du

\frac{1}{a}f'(\frac{w}{a}) que nos da un resultado positivo.

       II. a < 0 

\int^{\infty}_{-\infty}f(at)dt

u = at

du=adt

\frac{1}{a}du=dt

ahora sustituimos y nos queda lo siguiente \frac{1}{a}\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e^{-i\frac{w}{a}u}du

y tenemos lo siguiente que nos dara un resultado negativo \frac{1}{a}f'(\frac{w}{a})

los dos resultado obtenidos los podemos escribir de la siguiente manera

f(at)=\begin{cases}
\frac{1}{a}f'(\frac{w}{a}), \text{ si } a> 0 \\ 
\frac{-1}{a}f'(\frac{w}{a}), \text{ si } a< 0 
\end{cases}

lo cual conocemos como el valor absoluto y lo podemos escribir asi 

\frac{1}{\left| a \right|}f'(\frac{w}{a})

VI. INVERSIÓN DEL TIEMPO

    F[f(-t)]=F(-w)

 F^{-1}[F(-w)]=f(-t)

VII. MODULACIÓN

La modulación engloba el conjunto de técnicas para transportar información sobre una onda portadora, típicamente una onda sinusoidal. Estas técnicas permiten un mejor aprovechamiento del canal de comunicación lo que posibilita transmitir más información en forma simultánea, protegiéndola de posibles interferencias y ruidos


  Z24.gif           Z25.gif

VIII. DIFERENCIACIÓN EN EL TIEMPO

Si F{(f)}=F(w) y lim_{t\to \infty}f(t) = lim_{t\to -\infty}f(t) = 0


entonces:

                                               F[f_{(t)}]= iw F_{(w)}


y por aplicación sucesiva de la fórmula anterior:


                                                 F[f^{(n)}_{(t)}]= (iw)^n F_{(w)} n=1,2,3

IX. DIFERENCIACIÓN EN LA FRECUENCIA

 F \left[t^{n}f(t)\right]= i^{n}\frac {d^{n}}{dw^{n}}F(w)


Ejemplo: Calcular  F \left [\frac {t}{9 + t^{2}} \right]

Lo que hacemos es separar la funcion para poder ver que propiedad podemos utilizar


 F \left [t\frac {1}{9 + t^{2}} \right]

Con esta expresion nos damos cuenta que a la segunda expresion le podemos hallar su transformada aplicando la propiedad de inversión del tiempo

 F \left [\frac {1}{9 + t^{2}} \right] = \frac {\pi}{3}e^{-3|w|}

Ahora lo que hacemos es derivar con respecto a w en este caso como t tiene exponete 1 solo vamos a derivar una vez

 F \left [\frac {t}{9 + t^{2}} \right] = i\frac {d}{dw} \frac {\pi}{3}e^{-3|w|}


 F \left [\frac {t}{9 + t^{2}} \right] = -i \pi{3}e^{-3|w|}

Ejemplo:

                                Me35.gif


Se aplica la propiedad de diferenciación en la frecuencia:


                           Me36.gif


                           Me37.gif


                           Me38.gif

X. CONVOLUCIÓN

Sif(t) y g(t) son funciones, entonces la convolución de f y g se define como:


                                        Me1.gif

Sif(t) y g(t) tienen transformadas de Fourier, entonces:

                   Me2.gif (convolución en el tiempo)


                   Me3.gif (convolución en la frecuencia)


La forma inversa es:


                                        Me4.gif

Ejemplo:

                                        Me5.gif

Se factoriza:


                                        Me6.gif

Y por definición de convolución:


                                        Me7.gif
                                        Me8.gif
                                        Me9.gif


                                        Me10.gif


                      Si              Me13.gif      y         Me14.gif


Luego se integra:

                                        Me11.gif


El resultado es:

                                         Me12.gif


Ejemplo:

                                         Me15.gif


Usando la propiedad de la convolución:


                                          Me16.gif


                                          Me17.gif


                                          Me18.gif
                                          Me19.gif


                                          Me20.gif
                                          Me21.gif


Luego se usa el escalón unitario:

                                           Me22.gif


Y el resultado es:


                                           Me23.gif

Propiedades de la Transformada de Fourier

Las funciones son periódicas con período T, a > 0; b,to y
\omega = \frac {2\pi} {T} , son constantes reales, con n = 1,2,...

 f(t)   F(\omega)
f(at) \frac {1} {\vert (a)\vert }F(\frac {\omega} {a})
f(-t) F(-{\omega})
f(t-to) F({\omega})e^{-j\omega to}
f(t)e^{j\omega o t} F({\omega -\omega o})
f^n(t) ({j\omega})^nF(\omega)
f(t)cos \omega o t \frac {1} {2} F({\omega -\omega o}) + \frac {1} {2} F({\omega +\omega o})
f(t)sen \omega o t \frac {1} {2j} F({\omega -\omega o}) - \frac {1} {2j} F({\omega +\omega o})
F(t)  2\pi f(-\omega)

Transformadas de Fourier

Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver y' -4y =H(t)e^{-4t}

Aplicamos la transformada de Fourier

F(y') -4F(y) =F(H(t)e^{-4t})

i\omega y -4 y = \frac{1}{i\omega +4}

y=\frac{-1}{(4+i\omega)(4-i\omega)}

y(t)= \frac{-1}{16+\omega^2}

y(t)= \frac{-1}{8}e^{-4|t|}

Ejemplo 2

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[H(t)e^{^-3t}]

= i\omega \frac{1}{3+i\omega}

\frac{1}{a^{2}+t^{2}} (a>0) \frac{\pi}{a}e^{-a\left | \omega \right |}
\frac{t}{a^{2}+t^{2}} (a>0) \frac{-i \pi}{2a}\omega e^{-a\left | \omega \right |}
\delta (x) 1
H\left ( x+a \right )-H\left ( x-a \right ) \frac{2 sen(a\omega)}{\omega}
u\left ( x \right )e^{ax} \frac{1}{a+i\omega }

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