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Propiedades de los Exponentes

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Propiedades

Si a,b \epsilon \Re y  m,n \epsilon Z^{+}

1. a^{n} *  a^{m}=a^{n+m} Regla del producto. es decir, se copia la base y se suman los exponentes.

2. (a^{n})^{m} =a^{nm} Potencia a potencia, un exponente elevado a otro exponente, es la multiplicación de ambos.

3. (ab)^{n} =a^{n}b^{n} Regla del producto a una potencia , 2 números multiplicados elevados a una potencia, es lo mismo que la multiplicación de cada número elevado a la potencia.

4. (\frac{a}{b})^{n} =(\frac{a^{n}}{b^{n}}) Regla de cociente a una potencia, una fracción elevada a una potencia es lo mismo que el numerador elevado a la potencia y el denominador elevado a la potencia.

donde b ≠ de 0

5. \frac{a^{n}}{a^{m}} =a^{n-m} División de Exponentes, la división de dos números elevados a una potencia, con la misma base, es lo mismo que la base, elevada a la resta de sus exponentes.

6. a^{0} =1 Para cualquier valor de a^{0} siempre es la unidad


7. a^{-n} =\frac{1}{a^{n}} Recíproco o Inverso, un número elevado a una potencia negativa, es lo mismo uno dividido el número elevado a la potencia.


Demostración propiedades exponentes

Sabemos por definición que a^n=\underset{\text{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} 

Demostración propiedad 1

$a^n=\underset{\text{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}}$

$a^m=\underset{\text{m-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}}$

$ \begin{align*} a^n*a^m &= \underset{\text{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} * \underset{\text{m-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}}\\ &= \underset{\text{m+n veces}}{\underbrace{\underset{\text{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} * \underset{\text{m-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}}}} \\ &=\underset{\text{m+n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a * a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} \\ &= a^{m+n} \end{align*} $

Demostración propiedad 2

$ \begin{align*} (a^n)^m&= \left ( \underset{\text{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} \right )^m\\ &= \underset{\textit{m-veces}}{\underbrace{\left ( \underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} \right )*\left ( \underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} \right )*\dots*\left ( \underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot \dots a}} \right )}}\\ &= \underset{m*n-veces}{\underbrace{\left ( a\cdot a \cdot a \cdots a \right )*\left ( a\cdot a \cdot a \cdots a \right )\cdots\left ( a\cdot a \cdot a \cdots a \right )}}\\ &=a^{mn} \end{align*} $

Demostración propiedad 3

$ \begin{align*} (ab)^n &=\underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{(ab)\cdot (ab)\cdot \dots (ab)}} \\ &= \underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots a}}*\underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{b\cdot b\cdot \dots b}}\\ &= a^n b^n \end{align*} $

Demostración propiedad 4

$ \begin{align*} \left ( \frac{a}{b} \right )^n &=\underset{n-veces}{\underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b}\cdot \dots \frac{a}{b}}} \\ &=\frac{\underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{a\cdot a \cdot \dots a}}}{\underset{\textit{n-veces}}{\underbrace{b\cdot b \cdot \dots b}}} \\ &=\frac{a^n}{b^n} \end{align*} $


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