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Proposiciones Condicionales y Equivalencia Logica

De por WikiMatematica.org

DEFINICION

si p y q son proposiciones, la proposicion compuesta

                                    SI P ENTONCES Q

es una proposicion condicional y se denota como :

                                   p->q

La Proposicion p es la hipotesis(o antecedente) y la proposicion q es la conclusion(o consecuente)

el valor de verdad de la proposicion condicional p -> q se define mediante la siguiente tabla de verdad:


PQ P -> Q
V VV
V FF
F VV
F FV

En el lenguaje comun, lo usual es que la hipotesis y la conclusion de una proposicion condicional tengan cierta relacion; pero en logica no es necesario que la hipotesis y la conclusion se refieran al mismo tema. Por ejemplo si 10 < 1 , entonces Arzu fue un presidente de Guatemala.

La logica estudia la forma de las proposiciones y la relaciones entre estas, y no con el tema en cuestion.( de hecho, como la hipotesis es falsa, esta proposicion es verdadera. Observe que una proposicion condicional verdadera es distinta de una proposicion condicional con una conclusion verdadera)

EJEMPLO : JUAN GANARA EL EXAMEN SI ESTUDIA MUCHO.

respuesta : La hipotesis es la clausula posterior al condicional si, de modo que una formulacion equivalente es:

            SI JUAN ESTUDIA MUCHO ENTONCES GANARA EL EXAMEN

EJEMPLO2 :

MARCO SE PUEDE GRADUAR SOLO SI COMPLETA TODOS SUS CURSOS

respuesta : la clausula solo si es la conclusion; es decir

            Si p entonces q
            es considerada desde el punto de vista logico como igual a 
            p solo si q.
            una formulacion equivalente es :
            SI MARCO COMPLETA TODOS SUS CURSOS ENTONCES SE PUEDE GRADUAR
            La formulacion "si p entonces q " enfatiza la hipotesis, mientras que la 
            formulacion " p solo si q" enfatiza la conclusion; la diferencia es solo un estilo.


DEFININICION 3

Si p y q son proposiciones, la proposicion compuesta

                 p y solo si q

es una proposicion bicondicional y se denota

                p <--> q

el valor de verdad de la proposicion p <--> q se define mediante la siguienta tabla de verdad:


PQ P <--> Q
V VV
V FF
F VF
F FV

Una forma alternativa de afirmar "p si y solo si q" es "p es una condicion necesaria y suficiente para q".

A veces "p si y solo si q" se escribe "p ssi q".

EJEMPLO

la afirmacion

         5<7  si y solo si 9<15.


puede escribirse de manera simbolica como

        p <--> q

Si definimos

       p: 5<7; q: 9< 15.

como p y q son verdaderas, la afirmacion p <--> q es verdadera.

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