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Prueba de las series alternantes

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/GoVmZTNdnbQ

 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_{n} converge siempre que satisfaga las siguientes condiciones:


1.  \lim_{n\to \infty }  a_{n} = 0


2.  a_{n+1}\leq a_{n} para toda n



Contenido

Ejemplos

Ejemplo 1

Demuestre que la serie 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... = \sum_{n =1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} es convergente.

Primero,sabemos que es una serie alternante ya que su signo va alternando en cada iteracion, entonces para saber si converge, tiene que cumplir las dos condiciones.

1)   a_{n+1}\leq a_{n} sabemos que esto es verdadero ya que \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}

2)  \lim_{n\to \infty } a_{n} = 0 evaluando nuestro limite nos queda que \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} = 0


De modo que la serie es convergente, usando el teorema de las series alternantes.


Ejemplo 2

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n-1}{n^2-n}

Probar:

1.  \lim_{n\to \infty }  a_{n} = 0

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n^2-n}=0


2.   a_{n+1}\leq a_{n} para toda n


\frac{d}{dx}\left[\frac{n-1}{n^2-n}\right]

=\frac{(n^2-n)-(2n-1)(n-1)}{(n^2-n)^{2}}

=\frac{n^2-n-(2n^2-2n-n+1)}{(n^2-n)^{2}}

=\frac{n^2-n-2n^2+2n+n-1}{(n^2-n)^{2}}

\frac{d}{dx}\left[\frac{n-1}{n^2-n}\right]=\frac{-n^2+2n-1}{(n^2-n)^{2}} < 1

Ya que cumple con ambas condiciones la serie es Alternante

  • \therefore\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n-1}{n^2-n}\to Converge

Ejemplo 3

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{10^n}

esta es uns serie Alternante por lo cual se resuelve de dos pasos

1. comporvamos que el limite es 0

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{10^n}=0

primera condicion comprobada

2. la comparamos

\frac{n}{10^n} > \frac{n+1}{10^(n+1)}

como se cumplemen ambas condiciones converge

Ejemplo 4

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{ln(n)}

tambien es una serie alternanate probamos

1. el limite

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{ln(n)}=0

Aplicamos L'hopital nos queda

\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty

por lo tanto Diverge

Ejemplo 5

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n\pi)}{n^\frac{3}{4}}

en este caso la alternancion es el Cos n\pi

1. de igual forma comprobamos que el limite sea 0

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^\frac{3}{4}}=0

2. comparamos

\frac{1}{n^\frac{3}{4}} > \frac{1}{(n+1)^\frac{3}{4}}

en efecto por se cumplem ambas condiciones por lo cual Converge


Ejemplo 6

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(6n)}{(14n)^2}

lo que hace alternar la serie es el (-1)^n

1. Comprobamos que 0 < a_{n+1} < a_n

\frac{6(n+1)}{(14(n+1))^2} < \frac{6n}{(14n)^2}


6(n+1)(14n)^2} < (6n)(14(n+1))^2


1176n^2(n+1) < 1176n(n+1)^2


2. Aplicamos el limite

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6n}{(14n)^2}

Ahora L'Hopital

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6}{392n}

 = 0

Podemos concluir que la serie Converge. --Dieguito 23:04 16 may 2010 (CST)

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