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Radio y círculo de curvatura

De por WikiMatematica.org

Contenido

Circunferencia osculadora

Radio de Curvatura

En el ejemplo 2 del tema de curvatura demostramos que la curvatura de un circulo de radio $R$, es constante $K_p=\frac{1}{R}$.

Podemos notar que si $R>>1$ es decir "muy grande" $K_p\rightarrow 0$ y si $R<<1$ o sea "muy pequeño" $K_p\rightarrow \infty$ entonces podemos usar lo obtenido en este ejemplo para comparar la curvatura de otras curvas con un circulo. Si tomamos el ejemplo 3 que es el de la elipse, podemos compara la curvatura en sus vertices con la curvatura de un circulo.

La curvatura en el eje mayor no quedo $K_p=\frac{a}{b^2}$. La pregunta que tenemos que contestar entonces es

¿ Que radio tendria una circunferencia que tenga esta misma curvatura?

Para reponder a esto nosotros sabemos que la curvatura de una circunferencia de radio $R$ es $K_p=\frac{1}{R}$, entonces despejamos para $R$ y nos queda $R=\frac{1}{K_p}$ a este resultado es al que le llamaremos El radio de curvatura

Radio de Curvatura: El radio de curvatura es igual a $R_p=\frac{1}{K_p}$

Entonces el circulo que tiene curvatura $K_p=\frac{a}{b^2}$ tiene radio $R_p=\frac{1}{K_p}=\frac{1}{\frac{a}{b^2}}=\frac{b^2}{a}$ entonces esto nos da el radio de curvatura en el eje mayor, ahora para el del eje menor queda $R_p=\frac{a^2}{b}$.

Tomemos como ejemplo la elipse del dibujo,

Elipse de ecuación $C: \begin{matrix} x=4\cos t \\ y=2\sin t \end{matrix}$


Como las ecuaciónes parametricas de la elipse son $C: \begin{matrix} x=4\cos t \\ y=2\sin t \end{matrix}$ entonces tenemos que $a=4$ y $b=2$ sustituimos esto en los radios de curvatura para el eje mayo y menor y obtenemos que,

Radio de curvatura para el eje mayor

$R_p=\frac{b^2}{a}=\frac{4}{4}=1$

Radio de curvatura para el eje menor

$R_p=\frac{a^2}{b}=\frac{16}{2}=8$

en la siguiente imagen podemos ver los círculos que se forman con cada uno de los radios de curvatura que encontramos. Los circulos rojos son los que tiene $R_p=1$ y los anaranjados los que tienen $R_p=8$


Elipsejemploradiocurvatura2.png

Observando estos circulos podemos ver que la mayor curvatura esta donde el radio de curvatura es menor y la menor curvatura esta donde el radio de curvatura es mayo.

Estas circunferencias que tenenemos en el dibujo reciben el nombre de Circunferencia Osculadora ó Osculatriz.

Circunferencia Osculadora

Figura #1

Lo que queremos es encontrar la ecuación de esta circunferencia, lo que conocemos es el radio que es igual al radio de curvatura $R_p$ lo que necesitamos ahora es encontrar la coordenada del centro de la circunferencia la ecuación que asi,

$$(x-\xi)^2+(y-\eta)^2=R_p^2 $$

Usaremos vectores para encontrar el centro, entonces definimos los siguientes vectores que podemos ver en la figura #1

$$\vec{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle $$


$$\vec{r_p}=\langle \xi(t),\eta (t)\rangle$$

Los vectores $\hat{T}$ y $\hat{N}$ son el vector tangente y el vector normal respectivamente. El vector tangente a una curva en un punto es la derivada de la ecuación vectorial de la curva, en este caso $\vec{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ es la ecuación vectorial entonces $$\vec{T}=\frac{d\;\vec{r}(t)}{d\;t}=\langle \dot{x}(t),\dot{y}(t)\rangle$$

Para unitarizar este vector debemos de dividirlo dentro de su norma entonces $$\hat{T}=\frac{1}{|\vec{T}|}\vec{T}$$

Figura #2

Ahora encontramos el vector normal unitario $\hat{N}$. Podemos ver en la figura #2 que el vector tangente unitario por ser unitario se puede escribir como el vector que tiene componentes $$\hat{T}=\langle \cos \theta, \sin \theta \rangle$$ el vector normal es el vector que es ortogonal al vector tangente(Forma un angulo de $\frac{\pi}{2}$. Corremos entonces $\frac{\pi}{2}$ radianes el angulo $\theta$ en $\hat{T}$ no queda $$\hat{N}=\langle \cos(\theta + \frac{\pi}{2}),\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \rangle$$ Usando las formula de suma de angulos del seno y coseno obtenemos,

$$\hat{N}=\langle \cos(\theta) \cos(\frac{\pi}{2})-\sin(\theta) \sin(\frac{\pi}{2}),\cos(\theta) \sin(\frac{\pi}{2})+\cos(\theta) \sin(\frac{\pi}{2}) \rangle$$ $$\hat{N}=\langle-\sin \theta,\cos \theta\rangle$$ En la figura #2 vemos que $\cos\theta=\frac{\dot{x}}{|\vec{T}|}$ y $\sin\theta=\frac{\dot{y}}{|\vec{T}|}$ sustituimos en $\hat{N}$

$$\hat{N}=\langle -\frac{\dot{y}}{|\vec{T}|} , \frac{\dot{x}}{|\vec{T}|} \rangle = \frac{1}{|\vec{T}|}\langle -\dot{y}, \dot{x} \rangle $$

Ahora en la figura #1 podemos notar que los vectores $\vec{r}$, $\vec{r}_p$ y $R_p\hat{N}$ se relacionan por la resta vetorial entonces podemos escribir $$\vec{r}_p-\vec{r}=R_p\hat{N}$$ Nosotros lo que queremos es encontrar las ecuaciones del centro de la circunferencia osculadora entonces despejamos para $\vec{r}_p$, $$\vec{r}_p=\vec{r}+R_p\hat{N}$$

Sustituimos por cada una de las componentes de los vectores en la ecuación anterior $$\langle\xi(t),\eta(t)\rangle=\langle x(t),y(t)\rangle+\frac{R_p}{|\vec{T}|}\langle -\dot{y},\dot{x}\rangle$$ $$\langle\xi(t),\eta(t)\rangle=\langle x(t)-\frac{R_p}{|\vec{T}|}\dot{y},y(t)+\frac{R_p}{|\vec{T}|}\dot{x}\rangle$$ Para que estos dos vectores sean iguales sus componentes deben de ser iguales entonces nos queda,

$$\begin{matrix} \xi(t)=x(t)-\frac{R_p}{|\vec{T}|}\dot{y}(t) \\ \eta(t)=y(t)+\frac{R_p}{|\vec{T}|}\dot{x}(t) \end{matrix}$$

estas son las ecuaciones que nos dan la coordenada del centro en el punto $t$ dado. Donde $R_p=\frac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}$ y $|\vec{T}|=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$ entonces,

$$\frac{R_p}{|\vec{T}|} = \frac{\frac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}= \frac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{(\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y})(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{\frac{1}{2}}}= \frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}$$

sustituimos en las ecuaciones de $\xi(t)$ y $\eta(t)$ $$\begin{matrix} \xi(t)=x(t)-\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}\dot{y}(t) \\ \eta(t)=y(t)+\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}\dot{x}(t) \end{matrix}$$

Ejemplo #1

Encuentre la ecuación de la circunferencia osculadora en los vertices de la elipse $$\begin{matrix} x=4\cos t \\ y=2\sin t \end{matrix}$$

Sabemos que la los radios de curvatura son $$\begin{matrix} \textit{Curvatura en el eje mayor} & R_p=\frac{b^2}{a}=\frac{4}{4}=1 \\ \textit{Curvatura en el eje menor} & R_p=\frac{a^2}{b}=\frac{16}{2}=8 \end{matrix}$$

Los vertices de la elipse son entonces $(\pm 4,0)$ que se dan cuando $t=0$ y $t=\pi$. Entonces ahora calculamos el centro del circunferencia osculadora en los vertices $(\pm 4,0 )$,

$$\begin{matrix} \xi(t)=4\cos t-\frac{16\sin^2 t+4\cos^2 t}{(-4\sin t) (-2\sin t)+(-4\cos t)(2 \cos t)}(2\cos t) \\ \eta(t)=2\sin t+\frac{16\sin^2 t+4\cos^2 t}{(-4\sin t) (-2\sin t)+(-4\cos t)(2 \cos t)}(-4\sin t) \end{matrix}$$

simplificamos

$$\begin{matrix} \xi(t)=4\cos t-(4\sin^2 t+\cos^2 t)(\cos t) \\ \eta(t)=2\sin t-(4\sin^2 t+\cos^2 t)(2\sin t) \end{matrix}$$

Ahora encontramos la coordenada del centro para la osculatriz en $t=0$

$$\begin{matrix} \xi(0)=4\cos 0-(4\sin^2 0+\cos^2 0)(\cos 0)=3 \\ \eta(0)=2\sin 0-(4\sin^2 0+\cos^2 0)(2\sin 0)=0 \end{matrix}$$

$t=\pi$

$$\begin{matrix} \xi(\pi)=4\cos \pi-(4\sin^2 \pi+\cos^2 \pi)(\cos \pi)=-3 \\ \eta(\pi)=2\sin \pi-(4\sin^2 \pi+\cos^2 \pi)(2\sin \pi)=0 \end{matrix}$$

Ahora encontramos la coordenada del centro para la osculatriz en los vertices $(0,\pm 2)$ en $t=\frac{\pi}{2}$

$$\begin{matrix} \xi(\frac{\pi}{2})=4\cos \frac{\pi}{2}-(4\sin^2 \frac{\pi}{2}+\cos^2 \frac{\pi}{2})(\cos \frac{\pi}{2})=0 \\ \eta(\frac{\pi}{2})=2\sin \frac{\pi}{2}-(4\sin^2 \frac{\pi}{2}+\cos^2 \frac{\pi}{2})(2\sin \frac{\pi}{2})=-6 \end{matrix}$$

$t=\frac{3\pi}{2}$

$$\begin{matrix} \xi(\frac{3\pi}{2})=4\cos \frac{3\pi}{2}-(4\sin^2 \frac{3\pi}{2}+\cos^2 \frac{3\pi}{2})(\cos \frac{3\pi}{2})=0 \\ \eta(\frac{\pi}{2})=2\sin \frac{3\pi}{2}-(4\sin^2 \frac{3\pi}{2}+\cos^2 \frac{3\pi}{2})(2\sin \frac{3\pi}{2})=6 \end{matrix}$$

Entonces tenemos la siguiente tabla

$t$ $\text{Vertice}$ $R_p$ $(\xi,\eta)$ $\text{Ecuación Osculatriz}$
$0$ $(4,0)$ $1$ $(3,0)$ $(x-3)^2+y^2=1$
$\frac{\pi}{2}$ $(0,2)$ $8$ $(0,-6)$ $x^2+(y+6)^2=8$
$\pi$ $(-4,0)$ $1$ $(-3,0)$ $(x+3)^2+y^2=1$
$\frac{3\pi}{2}$ $(0,-2)$ $8$ $(0,6)$ $x^2+(y-6)^2=8$

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