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Razones de cambio relacionadas

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Razones de Cambio

El procedimiento para esto es deducir una ecuacion que relacione las cantidades y despues derivar aplicando la regla de la cadena y por ultimo despejar para encontrar la incognita.


Ejemplo #1


Dos autos parten del mismo punto, el primero se dirige al oeste a 25 y el segundo al sur a 60 MPH MPH. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos despues de 2 horas.
entonces tenemos que:
 \frac{dx}{dt}=25 mph

\frac{dy}{dt}=60 mph
Donde dx/dt y dy/dt es la velocidad de los autos, el cambio de x o y en el tiempo.
Para encontrar los valores de x y, multiplicamos por las 2 horas que han viajado.
x=50 m

y=120 m
Para encontrar la distancia que hay entre los 2 autos podemos hacerlo con el teroema de pitagoras tendrimaos que:
z=\sqrt{(50)^{2}+(120)^{2}}=130 m
z=130 m
entonces debemos encontrar el cambio de z respecto al tiempo.
\frac{dz}{dt}=?
Carro.JPG
Entonces basandonos en:
z^{2}=x^{2}+y^{2}
si derivamos respecto del tiempo temos que
2x(\frac{dx}{dt})+2y(\frac{dy}{dt})=2z(\frac{dz}{dt})
despejando dz/dt.
\frac{x(\frac{dx}{dt})+y(\frac{dy}{dt})}{z}=(\frac{dz}{dt})
Sustituyendo.
\frac{50(25)+120(60)}{130}=\frac{dz}{dt}
\frac{dz}{dt}=65 mph
--Jorgetr 20:34 25 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #2


se deja caer una piedra en un lago de calma lo que provoca ondas y circulos, el radio r del circulo exterior esta creciendo a un ritmo constante de 1pie/seg, cuando el radio es de 4 pies a que ritmo esta cambiando el area A de la region circular perturbada.

funciones:

r = radio
A = area

Relacion :

A = \pi  r^2

condicion inicial:

 \frac{dr}{dt}=1 pie/seg

Que nos estan pidiendo :  \frac{dA}{dt} en  r = 4 pies/seg

derivamos: A = \pi  r^2


 \frac{dA}{dt}=  \pi 2r \frac{dr}{dt}


 \frac{dA}{dt}= \pi 2 (4)(1) aca sustituimos los valores que ya tenemos el radio y dr/dt


 \frac{dA}{dt}= 25.13 pies/seg

--Hersonjmc 23:38 27 jul 2009 (UTC)Hersonjmc


Ejemplo #3


Un globo esferico se hincha con un gas a razon de 500 cm^3/min a que ritmo esta creciendo su radio cuando el radio es:

a.) 30 cm

b.) 60 cm

funciones:

V= volumen

r = radio

Relacion: V= 4/3 \pi r^3

condicion inicial:

 \frac{dv}{dt}=  500 cm^3/min

Que nos estan pidiendo:


 \frac{dr}{dt} en r= 30 cm

derivamos:


 V= 4/3 \pi r^3


 \frac{dv}{dt}= 4/3 \pi 3r^2 \frac{dr}{dt}


 \frac{500}{4 \pi r^2}= \frac{dr}{dt}


 \frac{500}{4 \pi (30)^2}= \frac{dr}{dt}


 0.04 cm/min \cong  \frac{dr}{dt}

b.)

 \frac{500}{4 \pi (60)^2}= \frac{dr}{dt}


 \frac{dr}{dt} \cong  0.01 cm/min

--Hersonjmc 23:58 27 jul 2009 (UTC)Herson Marroquin

Ejemplo #4


La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0.7 in, si ese aparato de medida comete un error no superior a 0.01 in, estimar el error propagado en el volumen de la bola.

funciones:

v= volumen

r = radio

relacion:

V= 4/3 \pi r^3

condicion inicial:

dr = 0.01 in

Que nos estan pidiendo:

dv en r = 0.7 in

derivamos:


 dv = 4/3 \pi r^3


dv= 4/3 \pi 3r^2 dr eliminamos el 3 del numerador y denominador y llegamos a:


dv= 4 \pi r^2 dr sustituimos los valores de r y dr y nos queda


 dv = 4 \pi (0.7)^2 (0.01 in)


dv \cong  \pm  0.0615 in^3 --Hersonjmc 00:27 28 jul 2009 (UTC)herson Marroquin

Ejemplo # 5

Se esta inflando un globo esferico.Encuentre la razon de aumento del area superficial(s=4\pi r^2) con respecto al radio r, cuando este es de (a)1 pie, (b)2 pies, (c)3 pies.

s=4\pi r^2

s'=8\pi r^

Sustituimos (a)(b)y(c) en la derivada

(a)=8\pi

(b)=16\pi

(c)=24\pi

Ejemplo # 6

Se suelta un globo en un punto a 150 ft alejado de un niño, quien se encuentra en el nivel del piso. Si este globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8  \frac{ft}{s} , ¿Qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando esté se encuentra a 50 ft de altura?

(a) Lo que nos dan: \frac{dh}{dt} = 8.

(b) ¿Qué buscamos? : buscamos conocer \frac{ds}{dt} en el instante que h= 50 ft.

(c) La relación entre la variables s y h es que son variables implícitas de t, y estas se relacionan por medio de la ecuación pitagórica:s^2 = h^2 + (150)^2.


Derivando:

 2s\frac{ds}{dt} =2h\frac{dh}{dt} =  s\frac{ds}{dt} = h\frac{dh}{dt}

Usando pitágoras:

 s =  \sqrt{50^2 + 150^2}   = 50 \sqrt{10}


Solución:


50 \sqrt{10}\frac{ds}{dt} =   50(8)

 \frac{ds}{dt} = \frac{8}{\sqrt{10} } = 2.53

Ejemplo # 7

Un hombre se encuentra ante un edificio , con un telescopio observa como se aproxima un carro que está directamente abajo de el. Si el telescopio está a 250ft por arriba del nivel del suelo y si el carro se aproxima a 20\frac{ds}{dt}, ¿ a que velocidad está cambiando el ángulo del telescopio cuando el carro está a 250ft del edificio?

(a) Lo que nos dan: \frac{dx}{dt} = -20. El signo es negativo por que la distancia que hay del carro al edificio (x) disminuye con el tiempo.

(b) ¿Qué buscamos? : buscamos conocer \frac{dy}{dt} en el instante que x= 250 ft.

\frac{dy}{dt} Es la razón de cambio del angulo respecto al tiempo.

Usando trigonometría:

 tan y  = \frac{x}{250}

Derivando:

 sec^2y \frac{dy}{dt} =\frac{1}{250}\frac{dx}{dt}

Cuando x=250, y (ángulo) es\frac{π}{4} por lo tanto :

 2 \frac{dy}{dt} =\frac{1}{250}(-20)

  \frac{dy}{dt} =\frac{-1}{25}= -0.04

Respuesta:

El ángulo está cambiando -0.04 radianes por segundo.

Ejemplo #8

Un deposito para agua tiene la forma de un cono sircular invertido; el radio de la base es de 2 m (metros) y la altura es de 4 m (metros) si el agua se bombea hacia el deposito a una razon de 2 m³/min, determine la rapidez a la cual el nivel de agua sube cuando el agua tiene 3 m de profundidad


Solucion


Sabemos que \frac{dV}{dt} = 2 m³/min y se pide determinar \frac{dh}{dt} cuando h = 3 las cantidades V y h estan relacionadas por medio de la ecuacion

   V = ⅓ pi*radio²h

pero es mas util expresar V solo en terminos de h

   \frac{r}{h} = \frac{2}{4}
    r = \frac{h}{2}

y la expresion para V se vuelve

    V = ⅓ pi*(\frac{h}{2})²h = (\frac{pi}{12})h³

Ahora derivamos con respecto a t cada miembro:

    \frac{dV}{dt} = (\frac{pi}{4})h²  \frac{dh}{dt}

de modo que

    \frac{dh}{dt} =   (\frac{4}{pi*h²}) \frac{dV}{dt}

al sustituir h = 3m y \frac{dV}{dt} = 2 m³/min se obtiene

    \frac{dh}{dt} = (\frac{4}{pi*3²}) * 2 = \frac{8}{9*pi}

entonces rl nivel de agua sobre al razon de \frac{8}{9*pi} = 0.28 m/min.

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