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Reduccion de Orden, por WikiMatematica.org
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Reduccion de Orden

De por WikiMatematica.org


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Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, y_{2}, de

a_{2}(x)y^{(n)}+a_{1}(x)y^{'}+a_{0}(x)y=0 


En un intervalo Z a partir de una solución y_{1} no trivial. Buscamos una segunda solución, y_{2}(x), de la ecuación anterior tal que y_{1} y y_{2} sean linealmente independientes en Z.

La idea es determinar la función u(x) sustituyendo y_{2}(x) = u(x)y_{1}(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar u.

CASO GENERAL

Si dividimos por a_{2} la primera ecuación para llevarla a la forma estándar obtenemos la siguiente ecuación:

y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0 

en donde son continuas en algún intervalo I. Supongase, ademas, que y_{1} es una solucion conocida y que y_{1} ≠ 0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y = u(x)y_{1}(x), entonces

y^{'}=uy + y_{1}u^{'}          ;        y^{''}=uy + 2y_{1}u^{'} + y_{1}u^{''}

entonces

y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=u[y_{1}^{''} + Py_{1}^{''} + Qy_{1}]+y_{1}u^{''} + u^{'}(2y_{1}^{'} + Py_{1}) = 0

como podemos ver

y_{1}^{''} + Py_{1}^{''} + Qy_{1} = 0

y

y_{1}u^{''} + u^{'}(2y_{1}^{'} + Py_{1}) = 0  


Podemos cambiar esta ultima esta por y_{1}w^{'} + w(2y_{1}^{'} + Py_{1})=0
, si utilizamosw = u^{'}

Como podemos ver esta ultima ecuación es lineal y separable, por lo tanto luego de separar e integrar obtenemos:

\frac{dw}{w} + 2 \frac{y_{1}^{'}}{y_{1}}dx +Pdx = 0 


ln|wy_{1}^{2}| = -\int{Pdx} + C        o sea           wy_{1}^{2} = C_{1}e^{-\int{Pdx}}


De la ultima ecuacion despejamos w, regresamos a w=u^{'} e integramos de nuevo:

u =C_{1} \int{\frac{e^{-\int{Pdx}}}{y_{1}^{2}}}dx + C_{2}  


Si elegimos  C_{1} = 1 y  C_{2} = 0, vemos en y = u(x)y_{1}(x) que una segunda solución de la ecuación es:

y_{2} =y_{1} \int{\frac{e^{-\int{P(x)dx}}}{y_{1}^{2}(x)}}dx  


EJEMPLO 1

dado que y_{1}=e^{x} es una solucion de y''-y=0 en el intervalo de (\infty ,-\infty ) use reduccion de orden para hallar una segunda solucion y_{2} SOLUCION
Si y=u(x)y_{1}(x)=u(x)e^{x}, entonces con la regla del producto se obtiene:

y'=ue^{x}+e^{x}u', y''=ue^{x}+2e^{x}u'+e^{x}u'',

y por lo tanto y''-y=e^{x}(u''+2u')=0

como e^{x}\neq 0, la ultima ecuacion requiere que u''+2u'=0 si se hace la sustitucion w=u', esta ecuacion lineal de seguno orden en u se convierte en w'+2w=0 que es una ecuacion lineal de primer orden en w. Si se usa el factor de integracion e^{2x}, se puede escribir \frac{d}{dx}(e^{2x}w)=0 despues de integrar, se obtiene w=c_{1}e^{-2x} o u'=c_{1}e^{-2x}. Al integrar de nuevo se obtiene u=-\frac{1}{2}c_{1}e^{-2x}+c_{2}. Asi

y=u(x)e^{x}=-\frac{c_{1}}{2}c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{x}

si se selecciona c_{2}=0 y c_{1}=-2, se obtiene la segunda solucion deseada y_{2}=e^{-x}. Como W(e^{x},e^{-x})\neq 0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en (\infty ,-\infty ).

Puesto que se ha demostrado que y_{1}=e^{x} y y_{2}=e^{-x} son soluciones linealmente independientes de una ecuacion lineal de segundo orden, la expresion es en realidad la solucion general de y''-y=0 en (\infty ,-\infty )

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