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Regla de L´Hôpital

De por WikiMatematica.org

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo (0/0).

La regla de L'Hospital se utiliza para facilitar el cálculo de límites la cual dice que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si las funciones tienden a cero cuando x tiende a c entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x).


Contenido

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración

  • Lo primero es suponer qe el Lim x->b f(x)= 0 y el Lim x->b g(x)= 0.

 \lim_{x \to a^+}{f(x) \over g(x)}= {\lim_{x \to a^+}

  • Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

{ \lim_{x \to b^+}{f'(x) \over g'(x)}= L}


Demostraremos que  \lim_{x \to b^+}{f(x)\over g(x)} = L

   F(x) = {[f(x) si x != a] y [0 si x = b]} Y G(x)= {[g(x) si x != a] y [0 si x = b]}

Entonces F es continua en I porque la funcion lo es cuando x pertenece a I aunque no lo es cuando x = b y

    \lim_{x \to b^+}{F(x)}= \lim_{x \to b^+}{f(x)} = {0} = {F(b)}

Igualmente, G es continua en I cuando x pertenece a I y x > a. Esto quiere decir que F y G son continuas en el intervalo [a,x] y tambien son derivables en [a,x] y G != 0 esto es porque F' = f' y G' = g'. Entonces existe un número tal que {b < y < x} y

    {F'(y) \over G'(y)} = {F(x) - F(b) \over G(x) - G(b)} = {F(x) \over G(x)}}

Sabemos que por definicion F(a) = 0 y G(a) = 0. Ahora con x->a y y->a porque a<y<x, asi que :

    \lim_{x \to b^+}{f(x)\over g(x)} = \lim_{x \to b^+}{F(x) \over G(x)} = \lim_{y \to b^+}{F'(y) \over G'(y)} = \lim_{y \to b^+}{f'(y) \over g'(y)} = L 

De esta manera demostramos la regla de l'Hospital en caso de que b es finita.

En pocas palabras, es la derivada del numerador(en este caso con respecto de x)dividido la derivada del denominador (con respecto de x en este caso). Esto se hace para simplificar mejor la función f(x) y g(x) cuando queda una forma indeterminada, ya que usuando lopital se puede llegar a una forma determinada para verificar si converge o diverge.


  • Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

 \lim_{x \to a^+}{f(x) \over g(x)}= {\lim_{x \to a^+}{f(x)-f(a)\over x-a}\over \lim_{x \to a^+}{g(x)-g(a) \over x-a}}={f'(a)\over g'(a)}

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Existen formas indeterminadas y formas determinadas.

Formas indeterminadas

1. \frac{0}{0}

2. \frac{\infty}{\infty}

3. \infty-\infty

4. 0*\infty

5. 0^{0}

6. 1^{\infty}

7. \infty^{0}

Formas determinadas

1. \infty+\infty = \infty

2. -\infty-\infty = -\infty

3. 0^{\infty} = 0

4. 0^{-\infty} = 0



Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al limite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; osea sean las funciones originales f(x)/g(x) al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = \xrightarrow{\mathrm{L'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1

Ejemplos

Ejemplo #1

\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}

\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}} = 1^{\infty}
\Rightarrow y = \lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}
\Rightarrow lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x}ln(1+x)
\Rightarrow lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{ln(1+x)}{x} = \frac{0}{0}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\Rightarrow \frac{1}{1+x} = 1
\Rightarrow y = e


Ejemplo #2

\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x}}{x}

\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x}}{x} = \frac{\infty}{\infty}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\Rightarrow \frac{e^{x}}{1} = \infty


Ejemplo #3

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = \infty-\infty
\Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^{2}-x}{x*x^{2}} = \frac{0}{0}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\Rightarrow \frac{2x-1}{2x} = \frac{-1}{0} = -\infty


Ejemplo #4

\lim_{x\to 1}\frac{ln(x)}{x-1}

Puesto que \frac{0}{0} podemos aplicar L'Hospital

\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1}


\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}=1

Ejemplo #5

\lim_{x \to 0^+} xln(x)
Vemos que tenemos la forma indeterminada 0 \cdot \infty
Utilizaremos la regla de L'Hospital para resolverla pero para eso lo escribiremos de otra forma
\lim_{x \to 0^+} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{x}=\lim_{x \to 0^+} -x=0

Ejemplo #6

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sec(x)-tan(x)
Vemos que tenemos la forma indeterminada \infty-\infty
Pimero sustituiremos a senos y cosenos para facilitar el calculo y obtenemos
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{cos(x)}-\frac{sin(x)}{cos(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin(x)}{cos(x)}
Si aplicamos el límite obtenehttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Regla_de_L%C2%B4Hospital&action=edit&section=9mos la forma indeterminada \frac{0}{0}
Utilizamos L'Hospital para resolver
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-cos(x)}{-sin(x)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} cot(x)=0


Ejemplo #7

\lim_{x \to \infty}  \frac{ln x}{x}

Forma indeterminada \frac{\infty}{\infty}

Aplicando L'Hospital

\lim_{x \to \infty}  \frac{\frac{1}{x}}{1}


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0

  \lim_{x \to \infty}  \frac{ln x}{x} = 0  

--Juniorr 00:57 30 oct 2009 (CST)

Ejemplo #8

\lim_{x \to \infty}  \frac{e^{x}}{x^{2}}

Forma Indeterminada \frac{\infty}{\infty}

Aplicando L'Hospital

\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x}}{2x} =  \frac{\infty}{\infty}

Aplicando L'Hospital de nuevo

\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x}}{2} = \infty

  \lim_{x \to \infty}  \frac{e^{x}}{x^{2}} = \infty  

Ejemplo #9

\lim_{x \to 0}  \frac{tanx-x}{x^{3}}

Forma Indeterminada \frac{0}{0}

Aplicando L'Hospital

\lim_{x \to 0}  \frac{Sec^{2}x-1}{3x^{2}}

Forma Indeterminada \frac{0}{0}

Aplicando L'Hospital

\lim_{x \to 0}  \frac{2Sec^{2}x Tanx}{6x}

Forma Indeterminada \frac{0}{0}

Aplicando L'Hospital

\lim_{x \to 0} \frac{4Sec^{2}x Tan^{2}x + 2Sec^{4}x}{6} = \frac{1}{3}



Ejemplo #10

\lim_{x \to \infty}  xTan\frac{1}{x}


\lim_{x \to \infty}  \frac{Tan\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}


Forma Indeterminada \frac{0}{0}

Aplicando L'Hospital


\lim_{x \to \infty}  \frac{Sec^{2}(\frac{1}{x})(\frac{-1}{x^{2}})}{\frac{-1}{x^{2}}} = 1


   \lim_{x \to \infty}  xTan\frac{1}{x} = 1 


Ejemplo #11

\lim_{x\to \infty }\frac{ln(x)}{\sqrt[3]{x}}


\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{1}{x}}{1/3 x^{-2/3}}


\lim_{x\to \infty }\frac{3}{\sqrt[3]{x}}= 0

Ejemplo #12

\lim_{x \to \infty} cot(2x)sin(6x)

Primero sustituimos cot(2x) por 1/tan(x)

\lim_{x \to 0} \frac{sin(6x)}{tan(2x)} = \frac{0}{0}

Utilizamos L'Hospital

\lim_{x \to 0} \frac{6cos(6x)}{2sec^2(2x)} = \frac{6 \cdot (1)}{2 \cdot (1)} =3

\therefore \lim_{x \to \infty} cot(2x)sin(6x) = 3

Ejemplo #13

 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x^2-1}

Aplicamos L'Hospital ya que tenemos la forma indeterminada 0/0.

 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{2x}{1}}

 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{2x^2}

Evaluamos el limite....

 \frac{1}{2}

\therefore \lim_{x\rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x^2-1}

--Antonio Moran 13:43 31 oct 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo #14

 \int_{-\infty }^{0}xe^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} \int_{b}^{0}xe^xdx

u=x

du=dx

v=e^x

dv=e^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} xe^x[0,b] - \int_{b}^{0}e^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} -be^b - e^x[0,b]

 \lim_{b\rightarrow -\infty} [-be^b -1 + e^b]

 -1 - \lim_{b\rightarrow -\infty} be^b

\lim_{b\rightarrow -\infty} be^b

\lim_{b\rightarrow -\infty} \frac{b}{e^{-b}}

\lim_{b\rightarrow -\infty} \frac{1}{-e^{-b}}=0

 \int_{-\infty }^{0}xe^xdx=-1

--Antonio Moran 14:10 31 oct 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo #5

 \int_{0}^{\infty}x^2e^{-x}dx



 \lim_{b\rightarrow \infty} \int_{0}^{b}x^2e^{-x}dx

Integramos......

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x}[0,b] -\int_{b}^{0} 2xe^{-x}dx]

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x}[0,b] - [2xe^{-x}[0,b] -\int_{b}^{0} 2e^{-x}dx]]

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x}[0,b] - [2xe^{-x}[0,b] -[-2e^{-x}[0,b] ]]]

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} -2e^{-x}] [o,b]

Evaluamos..............

 \lim_{b\rightarrow \infty} -b^2e^{-b} - 2be^{-b} -2e^{-b} + 2

Aplicamos L'Hospital al primer termino, porque forma infinito * 0.

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-b^2}{e^{b}}

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2b}{e^{b}}

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2}{e^{b}}= 0

Aplicamos L'Hostpital al segundo termino, porque queda forma infinito*0.

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2b}{e^{b}}

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2}{e^{b}}= 0

Al tercer termino no le aplicamos L'Hospital porque nos da directamente 0

Al cuarto termino no le aplicamos L'Hospital porque nos da un valor que es 2

 0 + 0 + 0 +2

 \int_{0}^{\infty}x^2e^{-x}dx=2

Ejemplo 16

1)\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}

\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}} = 1^{\infty}
\ y = \lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}
\lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x}ln(1+x)
\lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{ln(1+x)}{x} = \frac{0}{0}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\frac{1}{1+x} = 1

\ y = e

2)\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = \infty-\infty

\Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^{2}-x}{x*x^{2}} = \frac{0}{0}

aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}

\Rightarrow \frac{2x-1}{2x} = \frac{-1}{0} = -\infty --Antonio Moran 21:45 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 17

Calcule \lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{x^{2}}

valuamos el limite entonces tenemos que \lim_{x \to \infty } e^{x}= \infty y \lim_{x \to \infty } x^{2}= \infty entonces usamos la regla de L`Hospital

\lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{2x}

Volvesmos a evaluar el limite

\lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{2x} = \frac{\infty }{\infty }

ya que es sigue siendo indeterminado volvemos a utilizar la regla de L`Hospital.

\lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{2} = \infty

--Antonio Moran 21:45 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 18

Calcule \lim_{x \to 0 }\frac{tanx - x}{x^{3}}

valuamos el Limite.

\lim_{x \to 0 }\frac{tanx - x}{x^{3}} = \frac{0}{0} aplicamos la regla de L`Hospital

\lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x - 1}{3x^{2}} valuamos el limite \lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x - 1}{3x^{2}} = \frac{0}{0} Volvemos aplicar la regla.

\lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x tagx - 1}{6x} = \frac{0}{0}

\lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x * tag^{2}x+ 2sec^{4}x - 1}{6} = \frac{1}{3}

--Antonio Moran 21:50 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 19

\lim_{x\to\infty}  \frac{3x^{2}-1}{2x^{2}+1}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\ lim_{x\to \infty}  \frac{6x}{4x}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\lim_{x\to\infty}  \frac{6}{4}   = \frac{6}{4}

--Antonio Moran 21:50 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 20

\\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2}}{e^{-x}}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{0}

\ \lim_{x\to\infty} x^{2} e^{x}

forma: \ \infty  \infty

\ = \infty



--Antonio Moran 21:50 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 21

\lim_{x\to\infty} \frac{lnx}{x}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}  = 0 --Antonio Moran 21:50 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejercicios

L'hospital.png Solucion L'Hospital

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