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Regla de la cadena

De por WikiMatematica.org


Resulta de la derivada de la función compuesta f\circ g es el producto de las derivadas de f y g. Este hecho es una de los mas importantes de las reglas de derivación. Si la función g es diferenciable en x y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f\circ{}g es diferenciable en x,y

                                              (f\circ{}g)'(x)= f'(g(x))g'(x)

Ejemplo #1

Sean f(x)=x^{10}  ; g(x)=2x^{3}-5x^{2}+4

Entonces la función compuesta f\circ{}g está dada por:

(f\circ{}g)(x)= f(g(x))

(f\circ{}g)(x)= (2x^{3}-5x^{2}+4)^{10}

Para poder aplicar la regla de la cadena necesitamos encontrar:  f'(g(x))  ; g'(x)

Entonces

f'(g(x))=10[g(x)]^9

f'(g(x))=10[2x^{3}-5x^{2}+4]^9

g'(x)=6x^{2}-10x

Por lo tanto: (f\circ{}g)'(x)= f'(g(x))g'(x)

(f\circ{}g)'(x)=10[2x^{3}-5x^{2}+4]^9(6x^{2}-10x)


Ejemplo #2

Sea W(x)= \frac {(2x^2+1)^{15}}{(3x^3-4)^{12}}

Entonces

Sean f(x)=(2x^2+1)^{15}  ; g(x)=(3x^3-4)^{12}

y sus derivadas f'(x)=15(2x^2+1)^{14}*4x  ; g'(x)=12(3x^3-4)^{11}*9x^2

W'(x)=\frac{(15(2x^2+1)^{14}*4x)*((3x^3-4)^{12})-(12(3x^3-4)^{11}*9x^2)*((2x^2+1)^{15})}{((3x^3-4)^{12})^2}

W'(x)=\frac{3(2x^2+1)^14(3x^3-4)^11*(5(4x)(3x^3-4)-4(2x^2+1)(9x^2))}{(3x^3-4)^{24}}

W'(x)=\frac{3(2x^2+1)^14(3x^3-4)^11*(5(12x^4-16x)-4(18x^4+9x^2))}{(3x^3-4)^{24}}

W'(x)=\frac{3(2x^2+1)^14(3x^3-4)^11*(60x^4-80x-32x^4-36x^2)}{(3x^3-4)^{24}}

W'(x)=\frac{3(2x^2+1)^14(3x^3-4)^11*(28x^4-36x^2-80x)}{(3x^3-4)^{24}}

Por lo tanto:

W'(x)=\frac{3(2x^2+1)^{14}*(28x^4-36x^2-80x)}{(3x^3-4)^{13}}


Ejemplo #3

Sea W(x)= \frac {(x^2+5)^{3}}{(x^3-2)^{2}}

Entonces

Sean f(x)=(x^2+5)^{3}  ; g(x)=(x^3-2)^{2}

y sus derivadas f'(x)=3(x^2+5)^{2}*2x  ; g'(x)=2(x^3-2)*3x^2

W'(x)=\frac{(3(x^2+5)^{2}*2x)((x^3-2)^{2})-((x^2+5)^{3})(2(x^3-2)*3x^2)}{(x^3-2)^{4}}

W'(x)=\frac{(6x(x^2+5)^{2})((x^3-2)^{2})-(2(x^2+5)^{3})((x^3-2)*3x^2)}{(x^3-2)^{4}}

W'(x)=\frac{6x(x^2+5)^{2}(x^3-2)^{2}-6x^2(x^2+5)^{3}(x^3-2)}{(x^3-2)^{4}}

W'(x)=\frac{(x^3-2)(6x(x^2+5)^{2}(x^3-2)-6x^2(x^2+5)^{3})}{(x^3-2)^{4}}

W'(x)=\frac{6x((x^2+5)^{2}(x^3-2)-x(x^2+5)^{3})}{(x^3-2)^{3}}

W'(x)=\frac{6x((x^4+10x^2+25)(x^3-2)-x(x^6+15x^4+75x^2+125))}{(x^3-2)^{3}}

W'(x)=\frac{6x((x^7+10x^5-2x^4+25x^3-20x^2-50)-(x^7+15x^5+75x^3+125x))}{(x^3-2)^{3}}


W'(x)=\frac{6x(x^7+10x^5-2x^4+25x^3-20x^2-50-x^7-15x^5-75x^3-125x)}{(x^3-2)^{3}}

W'(x)=\frac{6x(-5x^5-2x^4-50x^3-20x^2-125x-50)}{(x^3-2)^{3}}

W'(x)=\frac{-6x(5x^5+2x^4+50x^3+20x^2+125x+50)}{(x^3-2)^{3}}

Ejemplo #4

y=\frac{e^3^x}{1+e^x}

La derivada de e^3^x= es igual a la derivada de afuera e^3^xpor la de adentro 3

y'=\frac{(1+e^x)3e^3^x-(e^3^x)(e^x)}{(1+e^x)^2}

y'=\frac{3e^3^x+3e^4^x-e^4^x}{(1+e^x)^2}

y'=\frac{3e^3^x+2e^4^x}{1+e^x}

Ejemplos Simples


Aqui hay unos ejemplos para aprender y entender la regla de la cadena.


Ejemplo #5

y=sen(x^2 + x)
y'= Dx sen ( x^2 + x) * Dx (x^2 + x)
y'= cos ( x^2 + x) * (2x + 1)
y'=2x cos( x^2 + x) +  cos( x^2 + x)


Ejemplo #6

y=( 7 + x )^5
y'= 5 (7 + x) ^4 * Dx ( 7 + x)
y'=  5 (7 + x) ^4 * 1
y'= 5 ( 7 + x) ^4


Ejemplo #7

y= cos ( 3x^2 - 2x)
y'= Dx cos( 3x^2 - 2x)* Dx ( 3x^2 - 2x)
y'=  -sen( 3x^2 - 2x) * ( 6x - 2)
y'=  -6x sen( 3x^2 - 2x) + 2 sen( 3x^2 - 2x)


Ejemplo #8

f(x)=sen(x^2)
f(u)=senu
u(x)= x^2
f'(u)=cosu
u'(x)=2x
f'(x)=cos(x^2)(2x)


Ejemplo #9

f(x)=e^t^a^n^x
w(u)=e^u
u(x)=tanx
u'=sec^2x
w'(u)=e^u
f'(x)=e^t^a^n^x(sec^2x)


Tambien podemos encontrar la derivada, de otra manera sin tener que encontrar u ni u', la cuale savar la derivade de lo de afuera despues, multiplicarla por la derivada de adentro y asi sucesivamente, por ejemplo.

Ejemplo #1

Tenemos la funcion:
f(x)=cos(a^3 + x^3)

Entonces ubicamos cual es la derivada de lo que esta afuera, la cual es:
f(x)=-sen(a^3 + x^3)
Despues multimplicamos por la derivado de lo de adentro.
f(x)=-sen(3a^2 + 3x^2)
Y asi encontramos la derivada...

Otros ejemplos:

Ejemplo #2

y=(2x-5)^4(8x^2 - 5)^-3
y=4(2x-5)^3 * 2 * (8x^2 - 5)^-3 - 3(8x^2 - 5)^-4 * 16x
y=8(2x-5)^3 (8x^2 - 5)^-3 - 48x (8x^2 - 5)^-4


Ejemplo #3

f(x)=(4x-x^2)^100
f(x)=100(4x-x^2)^99 * 4 - 2x
f(x)=100(4x-x^2)^99 * 4 - 2x

Ejemplo #4

y=a^3 + (cosx)^3
y=3a^2 + 3(cosx)^2 * -senx
y=3a^2 - senx * 3(cosx)^2

Ejemplo #5

f(x)=sen(4x^2+x^3)
f'(x)=cos(4x^2+x^3)(8x+3x^2)

Ejemplo #6

f(x)=tang(5x^3+x^7)
f'(x)=sec^2(5x^3+x^7)(15x^2+7x^6)

Ejemplo #7

f(x)=(2x-x^20)^5
f'(x)=5(2x-x^20)^4 * 2 - 20x^19


Ejemplo #8

f(x)=tan(cos(7x^3+x^2))
f'(x)=sec^2(cos(7x^3+x^2))*-sen(7x^3+x^2)*(21x^2+2x)


Ejemplo #9

f(x)=sen^3 ( x^2)
f(x)=3sen^2 ( x^2)* cos ( x^2) * 2x
f(x)=6x * sen^2 ( x^2)* cos ( x^2)

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