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Regla de la cadena para funciones de varias variables

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/sSJZHJlmdnA

Contenido

CASO 1.

Está en función de dos variables.

Ahora tenemos una función $z = f(x,y)$ y vemos que es diferencial respecto de $x$ y $y$, donde $x=g(t)$ y $y = h(t)$ son funciones diferenciales respecto de $t$. Entonces $z$ es una función de $t$ diferenciable $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

Demostración

Un cambio $\Delta t$ en $t$ se produce cambio de $\Delta x$ en $x$ y $\Delta y$ en $y$. Éstos, a su vez producen cambio de $\Delta z$ en $z$, y de acuerdo con la definición:

$$\Delta z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + \varepsilon_{1}\Delta x + \varepsilon_{2}\Delta y $$

donde $\varepsilon_{1} \to 0$ cuando $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0).$ Al dividir ambos miembros de esta ecuación entre $ \Delta t $,

$$\frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\Delta y}{\Delta t} + \varepsilon_{1}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \varepsilon_{2}\frac{\Delta y}{\Delta t} $$

Si ahora hace $\Delta t \to 0,$ entonces $\Delta x = g(t+\Delta t) - g(t) \to 0$ porque $g$ es diferenciable $y$, por lo tanto, continua. De igual manera, $\Delta y \to 0.$ A su vez, esto quiere decir que $\varepsilon_{1} \to 0$ y $\varepsilon_{2} \to 0$, de modo que:

$$\begin{align*} \frac{dz}{dt} &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta t} \\ &= \lim_{\Delta t \to 0} \left ( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\Delta y}{\Delta t} + \varepsilon_{1}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \varepsilon_{2}\frac{\Delta y}{\Delta t} \right )\\ &=\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} +\frac{\partial f}{\partial y} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} + \lim_{\Delta t \to 0} \varepsilon _{1}\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \lim_{\Delta t \to 0} \varepsilon _{2}\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + 0 \cdot \frac{dx}{dt} + 0 \cdot \frac{dy}{dt}\\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} \end{align*}$$

CASO 2

Suponga que $z = f(x,y)$ es una función diferenciable de $x$ y $y$, donde $x = g(s,t)$ y $y = h(s,t)$ son fuciones diferenciables de $s$ y $t$. Entonces: $$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$ $$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

CASO GENERAL

Suponga que $z$ es una función derivable de las $n$ variables $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ , en donde cada $x_{j}$ es una función de $t$. Por consiguiente $z$ es una función derivable de $t$ y se cumple que

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt} + \frac{\partial z}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dt} + \frac{\partial z}{\partial x_3}\frac{dx_3}{dt} +\cdots+ \frac{\partial z}{\partial x_n}\frac{dx_n}{dt}$$

Ejemplo #1

$z = \frac{x}{y} , x = r e^st , y= rs e^t$


$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}$

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{1}{y} [e^st] + \frac{-x}{y^2} [se^t]$

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{1}{rse^t} [e^st] + \frac{-re^st}{(rse^t)^2} [se^t]$

$= \frac{e ^{st}}{rse^t} - \frac{e ^{st}}{rse^t} = 0$

Ejemplo #2

Un circuito simple, compuesto por una resistencia y una batería sigue la ley:

$I= \frac{V}{R}$

debido al uso de voltaje en la bateria cae a una razon de 0.1V/s y debido al calentamiento la resistencia aumenta a una razon de 0.5\Omega /s. Cuando R=600\Omega e I=0.004A determine la razón de cambio de la corriente.

$\frac{\partial I}{\partial V}= \frac{1}{r}$

$\frac{\partial I}{\partial R}= \frac{-V}{r^{2}}$

$\frac{\partial I}{\partial t}= \left ( \frac{\partial I}{\partial V} \times \frac{\partial V}{\partial t}\right )+\left ( \frac{\partial I}{\partial R}\times \frac{\partial R}{\partial t} \right )$

$\frac{\partial I}{\partial t}= \left ( \frac{1}{r} \right )\left ( -0.01 \right )+\left ( \frac{-V}{r^{2}} \right )\left ( 0.5 \right )$

$\frac{\partial I}{\partial t}= -\frac{0.01}{r}-\frac{0.5V}{r^{2}}$ $Evaluando en:$

$R=600\Omega I=0.004$

$\frac{\partial I}{\partial t}= -\frac{0.01}{r}-\frac{0.5I}{R}$

$\frac{\partial I}{\partial t}= -\frac{0.01}{600}-\frac{0.5\times 0.004}{600}= -0.000017-0.000003$

$\frac{\partial I}{\partial t}= -0.00002 A/s$

$\frac{\partial I}{\partial t}= -20\times 10^{-6} A/s$

$\frac{\partial I}{\partial t}= -20\mu A/s$

$I $ disminuye a razon de $20\mu$ cada segundo.


Ejemplo # 3

si $z= x^2y + 3xy^4$, donde x= sen 2t y y=cost, halle $\frac{\partial z}{\partial t}$ cuando t=0


Solución, La regla de la cadena da

$\frac{\partial z}{\partial t}$ = $\frac{\partial z}{\partial x}$$\frac{dz}{dt}$ + $\frac{\partial z}{\partial y}$$\frac{dy}{dt}$

= $(2xy + 3y^4)(2cos2t) + (x^2 + 12 xy^3)(-sent)$

No es necesario sustituir las expresiones para x y y en terminos de t. Simplemente observamos que cuando t=0 tenemos que x= sen= 0 y y cos0= 1. Por tanto,

$\frac{\partial z}{\partial t}|_{t=0}= ( 0+3)(2cos 0) + ( 0 + 0 )(-sen0) = 6 $

Vea también

Video Resumen Regla de la Cadena


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