Reglas Básicas de Integración

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Introducción

Derivadas: Utilizamos las reglas de derivación para encontrar un valor de la pendiente de la recta tangente de una función F(x).
Integrales: Utilizamos las reglas de las integración para calcular el valor del área bajo la curva de una función F(x).

Derivada del producto: $(f\cdot g) ( x ) = {f}'\left ( x \right )g\left ( x \right )+f\left ( x \right ){g}'\left ( x \right )$

Regla de la cadena: $\frac{d f(g(x))}{dx} = {f}'\left ( g\left ( x \right ) \right ){g}'\left ( x \right )$

Integración por partes: $\int_{a}^{b}u\left ( x \right ){u}'\left ( x \right )dx = u\left ( x \right )v\left ( x \right ) - \int_{a}^{b}v\left ( x \right ){u}'\left ( x \right )dx$

Cambio de variables $"x=g(t)":\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx = \int_{g}^{g}^{^{-1}\left ( b \right )}f\left ( g\left ( t \right ) \right ){g}'\left ( t \right )dt$

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo $f$ por $F'$ en la definición de integral indefinida, con lo que se obtiene:

$\int F'(x)\;dx=F(x)+C$

Además, si $\int f(x)\;dx=F(x)+C$ , entonces

$\frac {d}{dx}\left [ \int f(x) \; dx\right ]=f(x)$

Estas dos ecuaciones permiten obtener teoremas de integración directamente de los teoremas de derivación, como se muestra en la siguiente tabla.

Pasos para integrar una función

Una vez con estas fórmulas básicas de integraci+on, si no percibimos de inmediato como atacar una integral específica, podemos entonces seguir la estrategia de cuatro pasos que describiremos a continuación:

1. SIMPLIFIQUE EL INTEGRANDO, SI ES POSIBLE
A veces, si se emplea el algebra o identidades trigonométricas se podrá simplificar el integrando y el método de integración sera mas obvio. A continuación presentamos algunos ejemplos:
a. $\int \sqrt{x}{(1 + \sqrt{x})}\;dx = \int \sqrt{x} + x}\;dx$

b. $\int \frac{tanx}{sec^2{x}}\;dx = \int \frac{senx}{cosx}cos^2{x}\;dx = \int {senx}{cosx}\;dx = \frac{1}{2}\int {sen{2x}}\;dx$

2. VEA SI HAY UNA SUSTITUCION OBVIA
Se debe tratar de encontrar alguna función, $u = g{(x)}$ , en el integrando, cuya derivada, $du = g'{(x)}\;dx$ también este presente, sin importar un factor constante; por ejemplo, en la integral:

$\int \frac{x}{x^2 - 1}\;dx$

observamos que si $u = x^2 - 1$ , entonces $du = 2x\;dx$ , por consiguiente, usamos la sustitución $u = x^2 - 1$ , en lugar de las fracciones parciales.

3. CLASIFIQUE EL INTEGRANDO DE ACUERDO CON SU FORMA

4. PRUEBE DE NUEVO

Video

Explicacion completa de las integrales

Formulas Básicas de Integración

Primitiva de la función

Definición de Primitiva: La primitiva es cuando una función F(x) es primitiva de otra función f(x) sobre un intervalo I.

Al sacar la primitiva ó la anti-derivada seria $F'(x)=x$ → $f(x)=1/2x^2$ Y si derivamos ó sacamos al anti-primitiva seria $f(x)=1/2 x^2$ → $F'(x)=x$

Primer Teorema: Este primer teorema es primordial, porque si F es primitiva f en un intervalo la primitiva general de f en el intervalo es: $F(x) + C$ Y C es una constante arbitraria y es primitiva f.

$F'(x)=x$ → $f(x)=1/2x^2 + C$ .

Explicación:
$F(x)=($ √ $x) + x^3+2$ entonces comenzamos a ordenar todo para que sea mas facil, la raiz de x lo podemos editar como $x^1^/^2$ de ahi nos quedaria * $F(x)=x^1^/^2 +x^3 +2$ ahora F(x) comenzamos a sacar las primitivas. ¿Como? si en la derivadas de las funciones como $d/dx (x)$ se le multiplica el exponente por la base y luego se resta al exponente 1, con la primitiva es inverso, al exponente se le suma 1 y la base es el inverso del exponente final. entonces quedaria de la siguiente manera:
$F(x)=2/3x^1^/^2^+^1+ 1/4x^3^+^1 + 2x$ y el resultado final seria
$F(x)=2/3x^3^/^2 + x^4 + 2x + c$ .

Primitiva de la Función: Primitiva de la Función de una función f(x) se denomina integral indefinida de f(x) y se denota por $∫ fx dx$ , Entonces si F(x) es primitiva de f(x) $∫ f(x)dx = F(x) + C$

Encontrar la primitiva de las siguientes funciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

$f(x) = 3x dx$

$= 3 \int x dx$

$= 3 \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ] + C$

Ejemplo 5

$f(x)= \int \frac{1}{x^{3}} dx$

$= \int x^{-3} dx$

$= \frac{1}{-2} x^{-2} + C$

Ejemplo 6

$f(x)= \int \sqrt{x} dx$

$= \int x^\frac{1}{2} dx$

$= \frac{1}{\frac{3}{2}} x^\frac{3}{2} + C$

Ejemplo 7

$f(x)= 2 sen(x)dx$

$= 2 \int sen x dx$

$= 2 (- cos x) + C$

Ejemplo 8

Ejemplo 9

$f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} dx$

$\int \frac{x + 1}{x^\frac{1}{2}} dx$

$\int \left (x + 1 \right ) \left ( x^\frac{-1}{2} \right ) dx$

$\int x^\frac{1}{2} + x^\frac{-1}{2} dx$

$\int x^\frac{1}{2} dx + \int x^\frac{-1}{2} dx$

$\frac{1}{frac{3}{2}} x^\frac{3}{2} + \frac{1}{frac{1}{2}} x^\frac{1}{2} + C$

Ejemplo 10

$f(x) = \frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

$\int \frac{Sen(x)}{Cos(x)} \frac{1}{Cos(x)} dx$

$\int Tan(x)Sec(x)$

Ejemplo 11

$f(x) = \frac{1}{x}$

$\int \frac{1}{x} dx$

Ejemplo 12

$f(x) = \frac{x^{3} + 3}{x^{2}}$

$\int (x^{3} + 3)(x^{-2}) dx$

$\int x + 3x^{-2} dx$

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{-1} x^{-1} + C$

Ejercicios de Repaso

Calcular las integrales siguientes.

$\int dx$ Sol $x + c$

               2.       $\int \frac{dx}{x}$      Sol    $ln(x) + c$

               3.       $\int x^{\frac{3}{4}} dx$      Sol    $\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4} }+ c$

               4.       $\int 5x^3 dx$      Sol    $\frac{5}{4}x^4 + c$

               5.       $\int 2bx^3 dx$      Sol    $\frac{1}{2}bx^4 + c$

               6.       $\int (x^4 - x^2 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^2}) dx$     =   ; $\int (x^4 - x^2 + x^-3 - x ^-2) dx$      Sol    $\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x} + c$

               7.       $\int \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}dx$      Sol    $\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} + c$

               8.       $\int 4\sqrt{x}dx$     =     $\int x^\frac{1}{4}$      Sol    $\frac{4}{5}x^\frac{5}{4}+ c$

               9.       $\int 3\sqrt{x^2}dx$     =     $\int x^\frac{2}{3}$      Sol    $\frac{3}{5}x^\frac{5}{3}+ c$

               10.       $\int \frac{dx}{x^3}$     =     $\int \frac{1}{x^3} dx$     =     $\int x^{-3} dx$      Sol    $- \frac{1}{2x^2} + c$

               11.       $\int \frac{dx}{(x + 1)^2}$     =     $\int \frac{1}{(x + 1)^2} dx$      Sol    $- \frac{1}{(x + 1)} + c$

               12.       $\int \frac{dx}{x^{-2}}$     =     $\int \frac{1}{x^{-2}} dx$     =     $\int x^2 dx$      Sol    $- \frac{1}{3}x^3 + c$

               13.       $\int \frac{dx}{(x - 2)^4}$     =     $\int \frac{1}{(x - 3)^4} dx$      Sol    $- \frac{1}{(3 (x - 2)^3} + c$

               14.       $\int 2x^4 dx$      Sol    $\frac{2}{5}x^5 + c$

               15.       $\int 3 dx$      Sol    $3x + c$

               16.       $\int (x + 2)( x - 1) dx$     =     $\int x^2 - x + 2x - 2 dx$     =     $\int x^2 + x - 2 dx$

                           Sol    $\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2x + c$

Tabla de Integrales

Teoremas de derivación	Teoremas de integración
$\frac{d}{dx}\left [ C \right ]=0$	$\int 0 \;dx = C$
$\frac{d}{dx}\left [ kx \right ]=k$	$\int k \;dx = kx+C$
$\frac{d}{dx}\left [ kf(x) \right ]=kf'(x)$	$\int f'(x) \;dx = f(x)+C$
$\frac{d}{dx}\left [ f(x)\pm g(x) \right ]=f'(x)\pm g'(x)$	$\int f'(x) \pm g'(x) \;dx = f(x) \pm g(x) +C$
$\frac{d}{dx}\left [ x^n \right ]=nx^{n-1}$	$\int x^n \;dx = \frac {x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac {d}{dx}\left [ \cos x \right ]=-\sin x$	$\int \cos x \; dx = \sin x + C$
$\frac{d}{dx}\left[\sin x \right ]=\cos x$	$\int \sin x \; dx = -\cos x + C$
$\frac{d}{dx}\left[\tan x \right ]={\sec}^2 x$	$\int {\sec}^2 \; dx = \tan x +c$
$\frac{d}{dx}\left[\sec x \right ]=\sec x \tan x$	$\int \sec x \tan x \; dx = \sec x + C$
$\frac{d}{dx}\left[\cot x \right ]=-{\csc}^2 x$	$\int {\csc}^2\;dx=-\cot x + C$
$\frac{d}{dx}\left[\csc x \right ]=-\csc x \cot x$	$\int \csc x \cot x \; dx = -\csc x + C$
$\frac{d}{dx}\left[\ e^x \right ]=e^x$	$\int \ e^x \; dx = \ e^x + C$
$\frac{d}{dx}\left[\ ln\|x\| \right ]=\frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x}\;dx = \ ln \|x\| + C$
	$\int \ a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \|a\|} + C$
	$\int \ sec x \;dx = \ ln \|sec x + tan x\| + C$
	$\int \ csc x \;dx = \ ln \|csc x - cot x\| + C$
	$\int \ tan x \;dx = \ ln \|sec x\| + C$
	$\int \ cot x \;dx = \ ln \|sen x\| + C$
	$\int \ senh x x \;dx = \ cosh x + C$
	$\int \ cosh x \;dx = \ senh x + C$
	$\int \frac{1}{x^2 + a^2}\;dx = \frac{1}{a} tan^{-1} \frac{x}{a} + C$
	$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2 }}\;dx = \ sen^{-1} \frac{x}{a} + C$