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Reglas del producto y del cociente

De por WikiMatematica.org


Contenido

Regla del Producto

Definición 1:
da como resultado, la derivada de la primera funcion por la segunda sin derivar, +, la derivada de la segunda funcion por la primera sin derivar.

                   \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}  \mathit = [{f}(x){g}(x)] = {f'}(x){g}(x) + {f}(x){g'}(x) 



Definición 2:
El producto de dos funciones derivables f y g es derivable. Su derivada es la primera función por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda.

                  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}  \mathit = {f}(x){g}(x) = {f}(x){g'}(x) + {g}(x){f'}(x) 



Ejemplo # 1

Hallar la derivada de:

  • \ \left ( 3x - 2x^{2}) \right \left ( 5 + 4x\right )


\ {f}(x) = 3x - 2x^{2}

\ {g}(x) = 5 + 4x

Derivando:

\ {f'}(x) = 3 - 4x

\ {g'}(x) = 4

Por regla del producto:

\ \left ( 3 - 4x \right ) \left ( 5 + 4x \right ) + \left ( 3x - 2x^{2} \right )\left ( 4 \right )

Desarrollar:

\ 15 + 12x - 20x - 16x^{2} + 12x - 8x^{2}

\ 15 + 4x - 24x^{2}

Entonces se obtiene:

  \  - 24x^{2}+ 4x + 15 


Ejemplo # 2


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}  =  \left [ x sen x \right ]


\ {f}(x) = x


\ {g}(x) = Sen x

Deriviamos:


\ {f'}(x) = 1

\ {g'}(x) = Cos x

Por regla del producto:

\ Sen x + x Cos x

Respuesta:

\ Sen x + x Cos x

--Juniorr 04:24 15 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 3

Encontrar

  • \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}2x\cos x-2\sin x=\left (2\cos x+\left (-2x\sin x  \right )  \right )-\left (2\cos x\right)


se restan los 2\cos x



\therefore \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}2x\cos x-2\sin x= -2x\sin x


--DiegoTello (II) 08003368 00:26 28 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 4


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x\sin x+e^{x}\cos x = \sin x + x\cos x +e^{x}\cos x -e^{x}\sin x

--DiegoTello (II) 08003368 01:36 28 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 5


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin x\cos x+x^{2}e^{x}+x^{10} =

\cos x\cos x-\sin x\sin x +2xe^{x}+x^{2}e^{x}+10x^{9}

\therefore \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin x\cos x+x^{2}e^{x}+x^{10} =\cos^{2} x-\sin^{2} x +2xe^{x}+x^{2}e^{x}+10x^{9}
--DiegoTello (II) 08003368 01:36 28 jul 2009 (UTC)

Regla del Cociente

Definición


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{{f}'(x)g(x)-f(x){g}'(x)}{g(x)^{2}} \:\:\:con\:\: g(x)\neq 0

Da como resultado, la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, -, la derivada de la segunda función por la primera sin derivar, todo esto dividido la segunda función al cuadrado.

Demostración

Por la definicion de la derivada podemos decir que:


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]


 = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}


 = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{g(x+\Delta x)g(x)}}{\Delta x}


 = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x\left [ g(x+\Delta x)g(x) \right ]}



 = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x\left [ g(x+\Delta x)g(x) \right ]}


en este paso lo que se hizo fue añadir g(x)f(x)-g(x)f(x) para que de esta manera se logre completar la derivada de ambas funciones.



=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x)\left [f(x+\Delta x)\right ]-f(x)\left [ g(x+\Delta x)-f(x)\right ]}{\Delta x\left [ g(x+\Delta x)g(x) \right ]}



= \frac{g(x) \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-f(x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}{\lim_{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)g(x)}

\therefore \frac{g(x){f}'(x)-f(x){g}'(x)}{g(x)^{2}}


--DiegoTello (II) 08003368 01:36 28 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #6

Encontrar la primera derivada de
y=\frac{3x-2}{\sqrt{2x+1}}

sacamos la derivada del numerador:
f(x)={3x-2}
f'(x)=3
sacamos la derivada del denominador:
g(x)={\sqrt{2x+1}}
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}

utilizando la regla del cociente nos queda
y'=y=\frac{3(\sqrt{2x+1}) - (3x-2)\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}}{(\sqrt{2x+1})^{2}}
Simplificando

y=\frac{3(\sqrt{2x+1}) - \frac{(3x-2)}{2\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x+1}}

--Jorgetr 16:32 30 jul 2009 (UTC)


Ejemplo #7

Encontrar la derivada de la función:

y=\frac{e^x}{\ x^2}

y'=\frac{(e^x)(x^2)-(e^x)(2x)}{\ (x^2)^2}

y'=\frac{(x^2e^x)-(2xe^x)}{\ (x^4)}

y'=\frac{x(xe^x-2e^x)}{\ (x^4)}

y'=\frac{xe^x-2e^x}{\ x^3}



Ejemplo #8

y=\frac{3t-7}{t^2+5t-4}

y'=\frac{(t^2+5t-4)(3)-(3t-7)(2t+5)}{(t^2+5t-4)^2}

y'=\frac{3t^2+15t-12-6t^2-15t+14t-35}{(t^2+5t-4)^2}

y'=\frac{-3t+14t+23}{(t^2+5t-4)^2}

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