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Representación de funciones como series de potencias

De por WikiMatematica.org

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Contenido

Series de potencias geométricas

Forma de una serie geométrica

\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r} es es si \left | r \right |<1

Si usamos esto, podríamos representar la función f(x)=\frac{1}{1-x} como una seria haciendo a=1 y r=x entonces podemos escribir la función como la serie,

\sum_{n=0}^{\infty}(1)(x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}x^n

Como r=x esta serie converge para \left | x \right |<1 es decir para -1<x<1

Ejemplo #1

Representar la función f(x)=\frac{1}{1-x^2} como una serie de potencias geométrica.

Sabemos que \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n usando esto podemos ver que si sustituimos x por x^2 obtenemos \frac{1}{1-(x^2)}=\sum_{n=0}^{\infty}(x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}

Ejemplo #2

Representar la función f(x)=\frac{1}{2+x} como una serie de potencias.

Viendo la definición de serie geométrica

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n

podemos darnos cuenta de que la función f(x) tiene una forma similar, lo cual significa que podríamos representarla de una forma en la cual se pueda representar como una serie geométrica.

Entonces haciendo la siguiente operatoria:

\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2-(-x)}=\frac{1}{2\left (1-\left (\frac{-x}{2}\right )\right )}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\left (\frac{-x}{2}\right )}

En este punto podemos darnos cuenta que si sustituimos x por \frac{-x}{2} podemos escribir la función como una serie de la siguiente forma:

\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left (\frac{-x}{2}  \right )^n=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^nx^n}{2^{n+1}} Serie de Potencias


Ejemplo #3

\frac{5}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}5x^n


entonces converge si x esta entre -1 y 1

NOTA,

En general para cuando usamos criterio de series geométricas


 f(x) = \frac{1}{ax+b}


 = \frac{\frac{1}{b}}{1-(\frac{ax}{b})}


 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n a^n x^n}{b^{n+1}}

 | \frac{a}{b}x  | <  1

despejando...

 x < \frac{b}{a}

 -\frac{b}{a}<x< \frac{b}{a}



Teorema de la representación de funciones

Si la serie de potencias   \sum_{n=0}^{\infty }C_n(x-a)^n   tiene radio de convergencia 
 R > 0  
la función f definida por  f(x)=C_0 + C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+...  es continua en    

(a-R,a+R) y derivable.


i) {f}'(x)=C_1+2C_2(x-a)+3C_3(x-a)^2+... = \sum_{n=0}^{\infty }C_nn(x-a)^{n-1}

ii)  \int f(x)dx=C_0x+C_1\frac{(x-a)^2}{2}+C_2\frac{(x-a)^3}{3}+... = C + \sum_{n=0}^{\infty }C_n\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}

NOTA: Los radios de convergencia de i y ii también son R.

Ejemplo

Expresar  f(x) = \frac{1}{(1-x)^2} como una serie de potencias.


Si hacemos  g(x)=\frac{1}{1-x} esto implica que  {g}'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}

entonces utilizando el teorema tenemos lo siguiente

 \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }x^n

aplicandole la derivada obtenemos que

\frac{1}{(1-x)^2}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ \sum_{n=0}^{\infty }x^n  \right ]

entonces realizando la operación de derivada nos quedaría como respuesta la serie de  f(x)

f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [x^n  \right ]

= \sum_{n=0}^{\infty }nx^{n-1} Serie de potencias para f(x)

 ==Ejemplo 3==


 ====Representar  funciones  con  series  de  potencias:====

       e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/3!)x^3 + (1/4!)x^4

   y  esto  se  puede  resumir  en: 
            e^x= \sum_{n=0}^\infty (a_in)(X^n) 

Podemos darnos cuenta que la gráfica son exactamente iguales cuando x >= -1 hasta el infinito Archivo:C:\Documents and Settings\Nueva\Escritorio\la\l.jpg

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