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Resumen de las principales derivadas

De por WikiMatematica.org


la derivada de una constante es cero.
Reglas básicas de derivación de funciones elementales
\frac {d}{dx}\left[ {cu}\right]={cu'} \frac {d}{dx}\left[ { u \pm v}\right]={  u' \pm v'  }
\frac {d}{dx}\left[ {      uv     }\right]={    u'v+uv'       } \frac {d}{dx}\left[ {      \frac{u}{v}      }\right]={   \frac{vu'-uv'}{v^2}        }
\frac {d}{dx}\left[ {     c       }\right]={      0     } \frac {d}{dx}\left[ {     u^n       }\right]={       nu^{n-1}u'    }
\frac {d}{dx}\left[ {     x       }\right]={    1       } \frac {d}{dx}\left[ {     |u|       }\right]={     \frac{u}{|u|}(u'),\;\;u  \neq 0    }
\frac {d}{dx}\left[ {      \ln u      }\right]={   \frac {u'}{u}        } \frac {d}{dx}\left[ {       e^u     }\right]={    e^uu'       }
\frac {d}{dx}\left[ {     \sin u       }\right]={   (\cos u)u'        } \frac {d}{dx}\left[ {      \cos u      }\right]={  - (\sin u)u'        }
\frac {d}{dx}\left[ {      \tan u      }\right]={    (\sec^2 u)u'       } \frac {d}{dx}\left[ {      \cot u      }\right]={   -(\csc^2 u)u'        }
\frac {d}{dx}\left[ {   \sec u         }\right]={  (\sec u \tan u)u'         } \frac {d}{dx}\left[ {   \csc u        }\right]={  -(\csc u \cot u)u'         }
\frac {d}{dx}\left[ {     \sin^{-1} u       }\right]={  \frac {u'} {\sqrt {1-u^2}}         } \frac {d}{dx}\left[ {     \cos^{-1} u      }\right]={    \frac {-u'}{\sqrt {1-u^2}}       }
\frac {d}{dx}\left[ {    \tan^{-1}u        }\right]={   \frac {u'} {1+u^2}        } \frac {d}{dx}\left[ {    \cot^{-1}u        }\right]={    \frac {-u'} {1+u^2}       }
\frac {d}{dx}\left[ {      \sec^{-1} u      }\right]={     \frac {u'}{|u|\sqrt{u^2-1}}     } \frac {d}{dx}\left[ {     \csc^{-1} u      }\right]={     \frac {-u'} {|u|\sqrt{u^2 -1}}      }
\frac {d}{dx}\left[ {     \sinh u       }\right]={   (\cosh u)u'        } \frac {d}{dx}\left[ {      \cosh u      }\right]={  (\sinh u)u'        }
\frac {d}{dx}\left[ {     \tanh u       }\right]={   (\sec h ^2 u)u'        } \frac {d}{dx}\left[ {      \coth u      }\right]={  -(\ csch^2 u)u'        }
\frac {d}{dx}\left[ {     \sec h  u       }\right]={   -(\sec h  u * tanh u)u'        } \frac {d}{dx}\left[ {      \ csch u      }\right]={  -(\ csch u * cothu)u'        }

Contenido

Ejemplo #1

Encontrar la derivada de la función f(x)=x \cos x
Como es el producto entre x y cos(x) aplicamos la regla del producto
f'(x)=\cos x + x (-\sin x)=\cos x - x \sin x

Ejemplo #2

encontrar la derivada de la función \frac{\partial }{\partial x}(3x^{4})

usando la regla de la la potencia \frac {d}{dx}\left[ {     u^n       }\right]={       nu^{n-1}u'    }

la derivada quedará:
\frac{\partial }{\partial x}(3x^{4}) = 3(4x^{3})(1)=  12x^{3}


Ejemplo #3

encontrar la derivada de f(x)= xe^{x}

usando la regla del producto:
f{}'(x)=\frac{\partial }{\partial x}(xe^{x})= x\frac{\partial }{\partial x}(e^{x})+e^{x}\frac{\partial }{\partial x}(x)

= xe^{x}+e^{x}(1)= (x+1)e^{x}

Ejemplo #4

Encontrar la derivada de la función:f(x)= e^{2x}


usando la regla de la cadena:

f'(x)=e^{2x}(2)

f'(x)=2e^{2x}

Ejemplo #5

Encontrar la derivada de la función:f(x)= (3x+7)^{2}

por regla de la cadena:

f'(x)=2(3x+7)*3

f'(x)=6(3x+7)

resultado:

f'(x)=18x+42

Demostración de las Derivadas de Funciones Hiperbólicas

Definiciones:

senh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} y cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

Seno Hiperbólico

Sabemos que: \frac {d}{dx} e^x = e^x y \frac {d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}

\frac {d}{dx}\left[ {senh(x)}\right]={ \frac{1}{2} (e^x - (-e^{-x}))}

\frac {d}{dx}\left[ {senh(x)}\right]={ \frac{e^x + e^{-x}}{2} } = cosh(x)

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