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Secciones Transversales Conocidas

De por WikiMatematica.org

Utilizando los mismos métodos de análisis podemos encontrar volúmenes de figuras conocidas como lo son la esfera, el cono, la pirámide etc, esto nos va a servir en los problemas de volúmenes en los que intervengan estas como secciones transversales.


El volumen de un solido de revolucion generado en la rotacion alrededor del eje x de un area plana limitada por la curva y=f{x}, el eje x y las rectas x=a y x=b viene dado por \int_{a}^{b} {\pi}y^2 dx. El integrando, {\pi}y^2 = {\pi}{f(x)^2}, se puede interpretar como el area de la seccion determinada por un plano perpendicular al eje x situado a una distancia del origen igual a x unidades.

Reciprocamente, si el area de la seccion ABC determinada en un solido por un plano perpendicular al eje x situada a una distancia del origen igual a x unidades, se puede expresar como una funcion, A(x), de x, el volumen del solido viene dado por V=\int_{a}^{b} A(x)dx.

Fig. 36.1.JPG

Ejemplo 1

Volumen de una esfera:

Como nos es conocido el volumen de una esfera es V=\frac{4}{3}{\pi}r^3

Ahora demostremos el por que utilizando integrales:

Primero debemos colocar la esfera con su centro en el origen, luego hacemos un corte con un plano al que llamaremos Px este corta la esfera en un círculo de radio y={\sqrt{r^2+x^2}} esto lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras (ver figura).

Esfera.JPG

Por tanto el área de la sección transversal es A(x)={\pi}y^2={\pi}(r^2-x^2)

Ahora aplicamos la definición de volumen con a = -r y b = r, resuelta

V=\int_{-r}^{r} A(x)dx =\int_{-r}^{r}{\pi}(r^2-x^2)dx

= 2{\pi}\int_{0}^{r} (r^2-x^2)dx


= 2{\pi}\left[ r^2x-\frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{r} = 2{\pi}\left (r^3 - \frac {r^3}{3} \right )

= \frac {4}{3} {\pi} r^3

Ejemplo 2

Volumen de una pirámide de base cuadrada:

Primero tomamos como datos la altura de la pirámide a la cual llamaremos h y a la base cuadrada de lado a

Si colocamos una recta coordenada l en el eje de la pirámide centrada en el orígen, entonces la sección obtenida al intersectar la pirámide con un plano perpendicular a l, nos da como resultado un cuadrado. si A(x) es el área de la sección determinada por el plano que intersecta al eje en una distancia x de 0 entonces

A(x)=(2y)^2=4y^2

donde y es la distancia indicada (ver figura). Usando triángulos semejantes tenemos que :

\frac{y}{x}=\frac{a/2}{h}, o y=\frac{ax}{2h}

por lo tanto

A(x)=4y^2=\frac{4a^2x^2}{4h^2}=\frac{a^2}{h^2}x^2

Pirámide.JPG

sabiendo que V=\int_{a}^{b}A(x) aplicamos:

V=\int_{0}^{h}\left(\frac{a^2}{h^2}\right)x^2dx

=\left(\frac{a^2}{h^2}\right)\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{h}=\frac{a^2h}{3}

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