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Serie de Fourier generalizada

De por WikiMatematica.org

¿Por qué series de Fourier?

Los fenomenos periódicos han fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros ancestros conocían las recuerrencias de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas de los lagos y los océanos y los ciclos del agua. El cálculo y la ley de la gravitación de Isaac Newton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus sucesores quienes desarrollaron el análisis de fourier que ha tenido aplicaciones mas profundas en el estudio de los fenómenos naturales y en el análisis de señales y datos.


Joseph Fourier.jpg JOSEPH FOURIER


Una Serie de Fourier es la representación de una función como una serie de constantes multiplicadas por funciones seno y/o coseno de diferentes frecuencias.

Una serie de Fourier nos sirve para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Fourier no pudo representar matemáticamente, quien lo hizo fue Laplace, años mas tarde.


Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función contínua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. El 16 de mayo de 1830 muere el matemático y físico francés Joseph de Fourier, años mas tarde despues de haber dado un salto tremendo en el desarrollo de la descripción de las señales continuas y periodicas.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos.

En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Aplicaciones de Fourier

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales.

Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.



Serie de Fourier Generalizada



Serie de Fourier Generalizada II



Serie de Fourier Generalizad III



Explicacion De La Serie De Fourier:




Parte II




Las series de fourier tienen la forma:

Escriba aquí una fórmula


Supongamos que \left \{\phi_n(x)  \right \} es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a, b], Sera posible determinar un conjunto de coeficientes c_n,\;n=0,1,2,..., para el cual f(x)=c_0\phi_0(x)+c_1\phi_1(x)+\cdots+c_n\phi_n(x)+\cdots ?
Al multiplicar la ecuación por c_m\phi_m(x) e integrar en el intervalo [a, b] se obtiene

\int_a^bf(x)c_m\phi_m(x)\;dx= \int_a^b c_0\phi_0(x)c_m\phi_m(x)\;dx+\int_a^b c_1\phi_1(x)c_m\phi_m(x)\;dx+\cdots+\int_a^b c_n\phi_n(x)c_m\phi_m(x)\;dx+ \cdots

=c_0(\phi_0\phi_m)+c_1(\phi_1\phi_m)+\cdots+c_n(\phi_n\phi_m)+\cdots

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. en este caso tendremos \int_a^bf(x)c_n\phi_n(x)\;dx=c_n\int_a^b \phi_n^2 (x)\;dx Entonces, los coeficientes que buscamos son c_n = \frac { \int_a^bf(x)c_n\phi_n(x)\;dx} { \int_a^b \phi_n^2 (x)\;dx},\;\; n=0,1,2,...

En otras palabras,  {\color{red} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n\phi_n(x),}
en la que {\color{red} c_n = \frac { \int_a^bf(x)c_n\phi_n(x)\;dx} { \int_a^b \phi_n^2 (x)\;dx}}


Contenido

Fórmulas Básicas

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(\frac{n{\pi}}{p})x+b_nsen(\frac{n{\pi}}{p})x)

Para obtener el Valor de A0 lo que realizó Fourier fue integrar la Serie de Fourier en ambos lados para mantener la igualdad y con eso podemos obtener el Valor de A0. Para obtener el valor de an lo que realizó Fourier fue multiplicar la función en ambos lados por un cos(nwot)y también para obtener el valor de bn lo que se realiza el multiplicar en ambos lados por un sen(nwot).

Para calcular a_0=\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)\;dx

Para calcular a_n =\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)cos(\frac{n{\pi}}{p}x)\;dx

Para calcular b_n =\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)sen(\frac{n{\pi}}{p}x)\;dx

Es obvio que la representación en series de Fourier de una función periódica, representa la función periódica como la suma de componentes sinusoidales que tienen diferentes frecuencias. La componente sinusoidal de frecuencia \omega n = n \omega o se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo periodo de la función y \omega_o = 2\pi f_o ={\frac{2\pi}{T}} se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficiente  C_n y los ángulos se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.


Transformada de Fourier y Sus Aplicaciones En Ingles

Ejemplo#1

f(x)=\begin{cases}
0; & -\pi<x<0 \\
\pi -x & 0<=x<\pi
\end{cases}

Desarrollar una Serie de Fourier
f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\[a_ncos(\frac{n{\pi}}{p})x+b_nsne(\frac{n{\pi}}{p})x\right\]
Sabemos que T=2{\pi} pero dibujandolo vemos que el periodo es \frac{T}{2}= {\pi}
ahora que ya sabemos cual es el valor del periodo entonces procedemos a encontrar a_0 solo tenemos que sustituir en las ecuaciones que tenemos arriba
a_0 =\frac{1}{{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\;dx si nos damos cuenta f(x) tiene el valor de 0 y al evaluar la integral tenemos como resultado cero por lo cual no la realizamos.

a_0 =\frac{1}{{\pi}} \int_{0}^{\pi}{\pi}-x\;dx =\frac{1}{{\pi}}\left[{\pi}x-\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{\pi}

=\frac{1}{{\pi}}\left[{\pi}^2-\frac{1}{2}{\pi}^2\right ]=\frac{1}{{\pi}}\lef[\frac{1}{2}{\pi}^2\right]

podemos decir que a_0 =\frac{{\pi}}{2}

para a_n =\frac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi}(\pi-x)cos(\frac{n{\pi}}{\pi})x\;dx

=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}({\pi}-x)cosnx\;dx podemos resolver esta integral mediante integración por partes que nos quedaría de la siguiente manera
u ={\pi}-x v=\frac{1}{n}sen(nx)
du= -dx dv=cos(nx)dx

=\left[\frac{({\pi}-x)}{n{\pi}}sen(nx)\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n{\pi}}\int_0^{\pi}sen(nx)\;dx

=\frac{1}{n{\pi}}\int_0^{\pi}sen(nx)\;dx

=\left[\frac{-1}{n{\pi}}cos(nx)\right]_0^{\pi}

EJEMPLO 2

f(x)=\begin{cases}
1; & 0 \leq x < \frac{1}{2} \\
\ 0;  & \frac{1}{2} \leq x < 1
\end{cases}

a_0 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \int_0^{\frac{1}{2}}  { 1 dx} = 2(\frac{1}{2}) = 1

a_0 = 1

a_n = 2 \int_0^{\frac{1}{2}}  {\cos{(2 n \pi x )} dx } = 2 \left<{ \frac{1}{2 n \pi }}\right> \sin{(2 n \pi x )} |\limit_{0}^{\frac{1}{2}}

a_n = \frac{1}{n \pi }\left<{\sin{(n \pi ) - 0}}\right> = 0

a_n = 0

b_n = 2 \int_0^{\frac{1}{2}}  {\sin{(2 n \pi x )} dx } = 2 \left<{ \frac{-1}{2 n \pi }}\right> \cos{(2 n \pi x )} |\limit_{0}^{\frac{1}{2}}

b_n = \frac{-1}{n \pi }\left<{\cos{(n \pi ) - 1}}\right> = \frac{1}{n \pi }\left<{1- (-1)^n}}\right>

b_n =\frac{1}{n \pi }\left<{1- (-1)^n}}\right>

Ahora que tenemos todos los componentes :
a_0 = 1                   a_n = 0                   b_n = \frac{1}{n \pi }\left<{1- (-1)^n}}\right>


entonces la serie de fourier nos queda:

f(x)=\ \frac{1}{2}  + \sum_{n=1}^\infty{ \frac{1}{n \pi }\left<{1- (-1)^n}}\right> \ sen{(2 n \pi )}}

EJEMPLO 3

f(x)= x          en el rango           \begin{bmatrix}0, 1\end{bmatrix}

a_0 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \int_0^{1}  { x dx} = 2 \left<{\frac{1}{2} x^2}\right> |\limit_{0}^{1}

a_0 = 1

a_n = 2 \int_0^{\frac{1}{2}}  {\ x cos{(2 n \pi x )} dx } = \left<{\frac{cos{(2 n \pi x )} }{4 n^2 \pi^2 } + \frac{ x sen{(2 n \pi x )} }{2 n \pi }}\right>|\limit_{0}^{1}

a_n = \frac{1}{4 n^2 \pi^2} - \frac{1}{4 n^2 \pi^2} = 0

a_n = 0

b_n = 2 \int_0^{\frac{1}{2}}  {\ x sen{(2 n \pi x )} dx } = \left<{\frac{sen{(2 n \pi x )} }{2 n^2 \pi^2 } - \frac{ x cos{(2 n \pi x )} }{2 n \pi }}\right>|\limit_{0}^{1}

b_n = \frac{-1}{n \pi }

Ahora que tenemos todos los componentes :
a_0 = 1                     a_n = 0                    b_n = \frac{-1}{n \pi }

entonces la serie de fourier nos queda:

f(x)= \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty{ \frac{-1}{n \pi } } sen{(2 n \pi )}

EJEMPLO 4

f(x)=\begin{cases}
1 + x; & 0 \leq x < 3 \\
\ 2;  & 3 \leq x < 4
\end{cases}

a_0 = \frac{2}{4} \left<{\int_0^{3}{ 1+x  dx} + \int_3^{4}{ 2 dx}   }\right>

a_0 = \frac{1}{2} \left\{{ \left<{x + \frac{x^2}{2}}\right>|\limit_{0}^{3} + 2x |\limit_{3}^{4} }\right\}

a_0 = = \frac{1}{2} \left<{ \frac{15}{2} + 2 }\right>

a_0 = \frac{19}{4}

a_n = \frac{2}{4} \left<{\int_0^{3}{ (1+x) cos{ ( \frac{1}{2}  n  \pi x )}  dx} + \int_3^{4}{ 2 cos{ ( \frac{1}{2}  n  \pi x )} dx}   }\right>

a_n  = \frac{4}{2 n^2 \pi^2 }  \left<{ cos{(\frac{3 n \pi }{2}) - 1 }}\right>

a_n =  \frac{2}{ n^2 \pi^2 }  \left<{ cos{(\frac{3 n \pi }{2}) - 1 }}\right>

b_n = \frac{2}{4} \left<{\int_0^{3}{ (1+x) sen{ ( \frac{1}{2}  n  \pi x )}  dx} + \int_3^{4}{ 2 sen{ ( \frac{1}{2}  n  \pi x )} dx}   }\right>

b_n = \frac{1}{2} \left<{ \frac{ - 8 cos{( \frac{3 n \pi}{2})}}{n \pi } +  \frac{ 4 sen{( \frac{3 n \pi}{2})}}{n^2 \pi^2 } + \frac{2}{n \pi } +  \frac{ - 4 cos{( 2 n \pi )} - cos{( \frac{3 n \pi}{2})}}{n \pi }}\right>

Ahora que tenemos todos los componentes :
a_0 = \frac{19}{4}          a_n =  \frac{2}{ n^2 \pi^2 }  \left<{ cos{(\frac{3 n \pi }{2}) - 1 }}\right>           b_n = \frac{1}{2} \left<{ \frac{ - 8 cos{( \frac{3 n \pi}{2})}}{n \pi } +  \frac{ 4 sen{( \frac{3 n \pi}{2})}}{n^2 \pi^2 } + \frac{2}{n \pi } +  \frac{ - 4 cos{( 2 n \pi )} - cos{( \frac{3 n \pi}{2})}}{n \pi }}\right>

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