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Series Telescopicas

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Definición

\sum_{n=1}^{\infty }(b_n - b_n_+_1)

S_n = b_1 - b_n_+_1

Converge si \lim_{n\to \infty }b_1 - b_n_+_1 existe.


Ejemplo # 1

  • \sum_{n=1}^{\infty }\frac{2}{4n^{2}-1}

Expandimos la expresion usando el metodo de las fracciones parciales

\frac{2}{4n^{2}-1}= \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}

Obtenemos:

\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}

Agrego un 2 \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2(n+1)+1-2}

\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2(n+1)-1}

\lim_{n\to \infty } 1 - \frac{1}{2n+1}= 1

El limite existe por lo tanto converge por serie telescopica.



Ejemplo #2

  • \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}

Trabajemos la como una Telescopica, restando el n y el n+1

\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})= 1 -\frac{1}{n+1}

aplicando el limite

\lim_{n\to \infty } 1 - \frac{1}{n+1}= 1

por lo tanto converge

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