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Definición

$\sum_{n=1}^{\infty }(b_n - b_n_+_1)$

$S_n = b_1 - b_n_+_1$

Converge si $\lim_{n\to \infty }b_1 - b_n_+_1$ existe.

Expandimos la expresion usando el metodo de las fracciones parciales

$\frac{2}{4n^{2}-1}= \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$

Obtenemos:

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$

Agrego un 2 $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2(n+1)+1-2}$

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2(n+1)-1}$

$\lim_{n\to \infty } 1 - \frac{1}{2n+1}= 1$

El limite existe por lo tanto converge por serie telescopica.

Trabajemos la como una Telescopica, restando el n y el n+1

$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})= 1 -\frac{1}{n+1}$

aplicando el limite

$\lim_{n\to \infty } 1 - \frac{1}{n+1}= 1$

por lo tanto converge