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Series de Fourier de una función

De por WikiMatematica.org

En 1807 establece en los trabajos presentados en Francia, que cualquier señal periodica puede ser representada por una seria de sumas trigonometricas en senos y cosenos relacionadas armonicamente.

Llamamos series de Fourier a aquella serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta.

Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos, Ecuaciones de Calor y de Ondas, ademas de Circuitos Electricos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Contenido

Definición

Como sabemos la Serie de Fourier para una función tiene la siguiente forma general:

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(\frac{n{\pi}}{p})x+b_nsen(\frac{n{\pi}}{p})x)

Donde para poder encontrar cada coeficiente realizamos las siguientes operaciones:

a_0=\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)\;dx

a_n =\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)cos(\frac{n{\pi}}{p}x)\;dx

b_n =\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)sen(\frac{n{\pi}}{p}x)\;dx

Recordemos que esta forma de la Serie de Fourier es una forma introductoria, más adelante veremos la Serie de Fourier en su forma mas especifica.

Ejemplos

Ejemplo #1

Encontrar la serie de Fourier para,

Función f(x)=\begin{cases}0 & x<0 \\ \pi -x & x>0 \end{cases}
Grafica Fourier-ejemplo-1.jpg

Primero encontremos a_0

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\:dx

=\frac{1}{\pi}\left [ \int_{-\pi}^{0}0\:dx+\int_{0}^{\pi}f(x)\:dx \right ]

\frac{1}{\pi}\left [ \pi x -\frac{x^2}{2} \right ]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}

ahora encontremos a_n

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \; dx

=\frac{1}{\pi}\left [ \int_{-\pi}^{0}0\;dx+\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\cos nx \;dx \right]

=\frac{1}{\pi} \left [ \left . (\pi-x)\frac{\sin nx}{n}) \right |_{0}^{\pi}+\frac{1}{n} \int_{0}^{\pi}\sin nx\;dx \right ]

el primer termino \left . (\pi-x)\frac{\sin nx}{n} \right |_{0}^{\pi}=0

\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\sin nx\;dx=\left . \frac{1}{n^2 \pi} -\cos nx \right |_{0}^{\pi}

=\frac{-\cos n\pi+1}{n^2 \pi}

Hacemos \cos n\pi = (-1)^n

a_n=\frac{1-(-1)^n}{n^2 \pi}

Ejemplo 2

Cuadrada.jpg

Tenemos la siguiente función cuadrada, periodica.

f(x)=\begin{cases}0 & -\pi<x<0 \\ \1 & 0<x<\pi \end{cases}

Nos piden obtener la serie de Fourier de esta función periodica.

Primero vemos cual es el valor de p, la funcion va de [-p,p] entonces nos damos cuenta que p= \pi

Ahora podemos obtener  a_0

a_0=\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)\:dx = a_0=\frac{1}{\pi} [\int_{-\pi}^{0}0 \:dx + \int_{0}^{\pi}1\:dx]

Como vemos la primera integral no la tomamos en cuenta porque su valor es cero.

Entonces:


\int_{0}^{\pi}1\:dx=\textrm{x}|_{0}^{\pi}=\pi \frac{1}{\pi} a_0=1

Ahora a_n

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos nx \; dx=\frac{\sin nx}{n}|_{0}^{\pi}=\frac{\sin n\pi}{n\pi}

a_n=\frac{\sin n\pi}{n\pi}

Ahora b_n

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin nx \; dx==\frac{-\cos nx}{n}|_{0}^{\pi}=(\frac{1}{n}-\frac{\cos n\pi}{n})*\frac{1}{\pi}


=\frac{-(\cos(n\pi)-1)}{n\pi} b_n=\frac{-(\cos(n\pi)-1)}{n\pi}

f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{\sin n\pi}{n\pi}cos(\frac{n{\pi}}{p})x+\frac{-(\cos(n\pi)-1)}{n\pi}sen(\frac{n{\pi}}{p})x)

Ejemplo 3

Encuentre la Serie de Fourier de la función:

f(x)= x en el intervalo [0,1]

S.jpg

Primero identificamos el valor de P, segun la definición [-P,P] en este caso -P=0 y P=1 entonces P=\frac{1}{2}

Ahora calculamos cada coeficiente para formar la Serie


a_0 = \frac{1}{1/2}\int_{0}^{1}x dx= \frac{1}{1/2}*\frac{1}{2}x^{2}[0,1]=1

a_n=\frac{1}{1/2}\int_{0}^{1}x cos(\frac{n\pi x}{p})dx=0

b_n=\frac{1}{1/2}\int_{0}^{1}x sen(\frac{n\pi x}{p})=\frac{1}{1/2}[-\frac{1}{n\pi }cos(2\pi nx)+\frac{1}{4n^{2}\pi^{2}}sen(2n\pi x)][0,1]=-\frac{1}{n\pi }


Entonces la Serie de Fourier queda :

f(x)= \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }-\frac{1}{n\pi }sen(\frac{n\pi x}{p})


Ejemplo 4

Encuentre la serie de Fourier de

f(x)=\begin{cases}
-\pi;  -2\pi <x< -\pi \\
x;   -\pi < x < \pi \\
\pi;   \pi < x < 2\pi 
\end{cases}

Como vemos posee simetria impar por lo tanto a_o=a_n=0

Solo calculamos b_n

b_n=\frac{1}{2\pi }[\int_{-2\pi }^{-\pi }-\pi sen(\frac{nx}{2})dx + \int_{-\pi }^{\pi }x sen(\frac{nx}{2})dx+\int_{\pi}^{2\pi}\pi sen(\frac{nx}{2})]

b_n=\frac{2(2 sen(\frac{n \pi}{2})-n(-1)^{n}\pi)}{n^{2}\pi}

La Serie de Fourier

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }[=\frac{2(2 sen(\frac{n \pi}{2})-n(-1)^{n}\pi)}{n^{2}\pi} sen\frac{nx}{2}]

Ejemplo 5

Determine la serie de Fourier de  f_{x} en [-\pi,\pi]

Screenshot2.png Dada la grafica obtenemos la función  f_{x} = \begin{cases} 1; 0 < x < \pi \\ -1; -\pi < x < 0 \end{cases}

En el intervalo[-\pi,\pi] la función es impar, por lo que a_{0} y  a_{n} son iguales a 0 Por lo que calculamos solamente b_{n}

b_{n}= \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0}-1sin(nx)dx + \int_{0}^{\pi}1sin(nx)dx

= \frac{2n}{\pi}[1-(-1)^n -(-1)^n+1]

b_{n}=\frac{4}{n\pi}[1-(-1)^n]

Por lo tanto determinamos que la serie de Fourier es:
f_{(x)}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n\pi}[1-(-1)^n]sin(2nx)

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