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Series de Fourier en senos y cosenos

De por WikiMatematica.org

Contenido

¿Que es una serie de Fourier?


Llamada así en honor a Joseph Fourier (1768 - 1830) físico y matemático francés. La serie de Fourier es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma de onda.


Tipos de Simetría

Par: si f(x) = f(-x)

Impar: si f(-x) = -f(x)

Serie de Fourier en Cosenos

Una serie de fourier en cosenos no es más que extraer una función definida en intervalos com una función par

Serie de Fourier en Senos

Es extender el comportamiento de una función definida en medio de intervalos como a una función impar



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Ejemplo #01

Determinar si f(x) = x^2 es función par o impar.

f(-x) = (-x^2)

f(-x) = (x^2)

f(-x) = f(x) la función es par

Ejemplo #02

Determinar si f(x) = x^3 es función par o impar.

f(-x) = (-x^3)

f(-x) = -x^3

f(-x) = -f(x) la función es impar

Ejemplo #03

Determinar si f(x) = sen(x) es función par o impar.

f(-x) = sen(-x)

f(-x) = -sen(x)

f(-x) = -f(x) la función es impar


Serie de Fourier de Cosenos " f(x) Función Par "

Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).

La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
a_0 =\frac{2}{p}\int_0^pf(x)\;dx

a_n=\frac{2}{p}\int_0^pf(x)cos(\frac{n{\pi}}{p})x\;dx

b_n = 0

una función se puede decir que es par, sí cuando tomamos un período de la función, y lo giramos sobre el eje Y, este coincide exactamente con otro período de la función

Serie de Fourier de Senos " f(x) Función Impar "

La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos
a_0 = 0

a_n=0

b_n = \frac{2}{p}\int_0^pf(x)sen(\frac{n{\pi}}{p})x\;dx

una función se puede decir que es impar, sí cuando tomamos un período de la función, lo giramos en el eje Y y luego en el eje X, este coincide exactamente con otro período de la función

Caso 1 de Función par e Impar

f(x) función par g(x) función impar f(x)g(x) = h(x)

h(-x) = f(-x)g(-x))

h(-x) = f(x)(-g(x)))

h(-x) = -f(x)g(x))

h(-x) = -h(x))

Por lo tanto h(x) es una función impar

Caso 2 de Función Par y Par

f(x) función par g(x) función par f(x)g(x) = h(x)

h(-x) = f(-x)g(-x))

h(-x) = f(x)g(x)

h(-x) = h(x))

Por lo tanto h(x) es una función par


Propiedades Funciones Pares e Impares

1) El producto de dos funciones pares es par.
2) El producto de dos funciones impares es par.
3) El producto de una función impar y una función par es impar
4) La suma o diferencia de dos funciones pares es par.
5) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar.
6) Si f es par,  \int_{-a}^af(x)\;dx = 2 \int_{-a}^af(x)\;dx

7) Si f es impar,  \int_{-a}^af(x)\;dx = 0

Ejemplo #01

Desarrolle la serie de Fourier para f(x)= x en -2<x<2. Como f(x)= x es impar nos damos cuenta que solamente tenemos que usar la serie de Fourier de senos.

a_0=0

a_n=0

b_n=\int_0^2xsen(\frac{n{\pi}}{2})x\;dx para poder realizar la integral necesitamos hacerla por partes.
u=x;                  v =\frac{-2}{n{\pi}}cos(\frac{n{\pi}}{2})x

du= dx; dv=sen(\frac{n{\pi}}{2})x\;dx

b_n=\left[\frac{-2x}{n{\pi}}cos(\frac{n{\pi}}{2})x\right]_0^2 + \frac{2}{n{\pi}}\int_0^2cos(\frac{n{\pi}}{2})x\;dx

b_n=\left[\frac{-2x}{n{\pi}}cos(\frac{n{\pi}}{2})x\right]_0^2 + \left[\frac{4}{n^2{\pi}^2}sen(\frac{n{\pi}}{x})x\right]_0^2=\frac{-4}{n{\pi}}(-1)^n

f(x)=\sum_1^{\infty}(\frac{4}{n{\pi}}(-1)^{n+1}sen(\frac{n{\pi}}{2})x

Ejemplo #02

Desarrolle la serie de Fourier para:

f(x)=\begin{cases}                    
-1; & -\pi<x<0 \\                              
1; & 0<=x<\pi                          
\end{cases}


SOLUCIÓN:

f(x)=\begin{cases}                    
-1; & -\pi<-x<0 \\                              
1; & 0<= x< \pi                          
\end{cases}

f(-x)=\begin{cases}                    
1; & -\pi<x<0 \\                              
-1; & 0<=x<\pi                          
\end{cases}


entonces tenemos que: f(-x) = -f(x)

lo cual nos indica que es una función impar, para lo cual se sabe que:

a_0 = 0 y   a_n = 0

por lo tanto solo resta calcular b_n para definir la serie de Fourier:

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi sen(nx)dx

 = \frac{2}{\pi}\left[\frac{-1}{n}cos(nx)\right]_0^\pi
 =\frac{-2cos(n\pi)}{n\pi}+ \frac{2}{n\pi}
 = \frac{-2(-1)^n}{n\pi} + \frac{2}{n\pi}
 = \frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)



entonces la serie de Fourier queda de la siguiente manera:

f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)sen(nx)

que también se puede escribir de la siguiente forma:

f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}(1+(-1)^(n+1))sen(nx)

Ejemplo #03

Desarrolle a) Serie de Senos.
b) Serie de Cosenos.
c) Serie de Fourier.
para la función:
f(x)= x^2 en el intervalo 0<x<L

SOLUCIÓN:
a)
Como la función no es impar entonces recurrimos a forzar para que lo sea de la siguiente forma:


Le agregamos el segmento que le falta para que en un periodo este incluida la parte negativa de la función con lo cual tenemos la siguiente función:


f(-x)=\begin{cases}                    
-x^2; & -L<x<0 \\                              
x^2; & 0<=x<L                          
\end{cases}

entonces ya siendo una función impar: a_0 = 0 y   a_n = 0

ahora se procede a calcular b_n:

b_n = \frac{2}{L}\int_0^L x^2 sen(\frac{n\pi}{L}x)dx

y haciendo los procedimientos correctos se puede determinar que :

b_n = \frac{2L^2(-1)^(n+1)}{n\pi} + \frac{4L^3}{n^3\pi^3}((-1)^n-1)

con lo cual ya podemos armar la serie de Senos:

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2L^2(-1)^(n+1)}{n\pi} + \frac{4L^3}{n^3\pi^3}((-1)^n-1)]sen(\frac{n\pi}{L}x)


b)
Nuevamente se fuerza la función para que aparezca como una función par, por lo tanto tenemos:

b_n=0

ahora calculamos:
a_0= \frac{2}{L}\int_0^L x^2 dx

 =\frac{2}{L}\left[\frac{1}{3}x^3)\right]_0^L
 =\frac{2}{L}[\frac{L^3}{3}]
 =\frac{2L^2}{3}


el paso siguiente es calcular:
a_n = \frac{2}{L}\int_0^L x^2 cos(\frac{n\pi}{L}x)dx

y haciendo los pasos correctos se llega a la conclusión que:

a_n= \frac{4L^2(-1)^n}{n^2\pi^2}


entonces al construir la serie de Cosenos se tiene:

f(x)= \frac{L^2}{3}+ \sum_{n=1}^{infty}\frac{4L^2(-1)^n}{n^2\pi^2}cos(\frac{n\pi}{L}x)

Ejemplo #4

Encontrar la serie de Fourier de
f(x)= x^4 en el intervalo -1<x<1
Como f(x) es una función par, x^4sen(n{\pi}x) es impar y se sabe de inmediato que los coeficientes del seno b_n son cero.

a_0 =\frac{2}{p}\int_0^pf(x)\;dx

a_n=\frac{2}{p}\int_0^pf(x)cos(\frac{n{\pi}}{p})x\;dx

b_n = 0

Entonces

a_0 ={2}\int_0^1x^4\;dx= \frac{2}{5}

a_n=2\int_0^1x^4cos(n{\pi}x)\;dx= 8\frac{n^2{\pi}^2-6}{{\pi}^4n^4}(-1)^n

b_n=0

Ejemplo #5

Sea la función: f(x)=x^2+x encuentre si es par o impar

f(-x)=(-x)^2+(-x)

f(-x)=x^2-x

indefinido

Ejemplo #6

Determine si la función es par o impar

f(x)=\begin{cases}                    
x + 5; & -2<x<0 \\                              
-x + 5; & 0<x<2                          
\end{cases}

f(x)=\begin{cases}                    
-x + 5; & -2<-x<0 \\                              
x + 5; & 0<-x<2                          
\end{cases}

f(x)=\begin{cases}                    
-x + 5; & 0<x<2 \\                              
x + 5; & -2<x<0                          
\end{cases}

f(x)= par


Ejemplo #7

Determine si es par o impar

f(x)= \begin{cases}
-\pi; &  -2 \pi < x< -\pi   \\ 
x;  &  -\pi < x < \pi   \\ 
\pi; &   \pi  < x < 2 \pi \end{cases}

Usando f(-x)=-f(x)

nos queda

f(x)= \begin{cases}
-\pi; &  -2 \pi > x> \pi \\   
-x; &   \pi > x > -\pi \\  
\pi;  &  -\pi  > x > -2 \pi \end{cases}

Por lo tanto decimos que es impar.

Ejemplo #8

f(x)=x^2 de 0<x<L
a) serie de cosenos
b) serie de senos
c) serie de fourier

a)
a_0 =\frac{2}{L}\int_0^L x^2\;dx
a_0=2/3L^2


a_n=\frac{2}{L}\int_0^Lx^2cos(\frac{n{\pi}}{L})x\;dx
a_n=\frac{4L^2(-1)^n}{n^2\pi^2}

b)
b_n=\frac{2}{L}\int_0^Lx^2sin(\frac{n{\pi}}{L})x\;dx
b_n=\frac{2L^2}{n\pi}[(-1)^n+\frac{2(-1)^n-2}{n^2\pi^2}]

c)
f(x)=\frac{2}{6L^2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{4L^2(-1)^n}{n^2\pi^2}cos(\frac{n (\pi) x}{L}) +\frac{2L^2}{n\pi}[(-1)^n+\frac{2(-1)^n-2}{n^2\pi^2}]sen(\frac{n(\pi)x}{L}))

Ejemplo #9

Desarollar la serie de fourier en senos y cosenos:

f(x)= \begin{cases}
-\pi; &  -2 \pi < x< -\pi   \\ 
x;  &  -\pi < x < \pi   \\ 
\pi; &   \pi  < x < 2 \pi \end{cases}

a_0=\frac{1}{2\pi}(\int_{-2\pi}^{-\pi}-\pidx+\int_{-\pi}^{\pi}xdx+\int_{\pi}^{2\pi}\pidx)=\frac{1}{2\pi}(-\pi^2+0+\pi^2)=0


a_n=\frac{1}{2\pi}(\int_{-2\pi}^{-\pi}-\pi cos(\frac{nx}{2})dx+\int_{-\pi}^{\pi}xcos(\frac{nx}{2})dx+\int_{\pi}^{2\pi}\pi cos(\frac{nx}{2})dx)

a_n=\frac{1}{2\pi}(\frac{2sen(\frac{n\pi}{2})\pi}{n}-\frac{2sen(n\pi)\pi}{n}+0+\frac{2sen(n\pi)\pi}{n}-\frac{2sen(\frac{n\pi}{2})\pi}{n})=0


b_n=\frac{1}{2\pi}(\int_{-2\pi}^{-\pi}-\pi sen(\frac{nx}{2})dx+\int_{-\pi}^{\pi}xsen(\frac{nx}{2})dx+\int_{\pi}^{2\pi}\pi sen(\frac{nx}{2})dx)

b_n=\frac{1}{2\pi}(\frac{2cos(\frac{n\pi}{2})\pi}{n}-\frac{2cos(n\pi)\pi}{n}+\frac{8sen(\frac{n\pi}{2})\pi}{n^2}-\frac{4cos(\frac{n\pi}{2})\pi}{n}+\frac{2cos(n\pi)\pi}{n}-\frac{2cos(n\pi)\pi}{n})

b_n=\frac{-2(n(-1)^n\pi-2sen(\frac{n\pi}{2}))}{n^2\pi}

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-2(n(-1)^n\pi-2sen(\frac{n\pi}{2}))}{n^2\pi}sen(\frac{nx}{2})

Ejemplo #10

f(x)=\begin{cases}                    
0; & -3<=x<0 \\                              
x; & 0<=x<=3                                                          
\end{cases}

a_0=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}x=3

a_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}xcos(\frac{2\pi nx}{3})=0

b_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}xsen(\frac{2\pi nx}{3})=\frac{-3}{\pi n}

f(x)=\frac{3}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-3}{n\pi}sen(\frac{2n\pi x}{3})

Ejemplo #11

f(x)=x^3 de 0<x<\pi


a_0 =\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^3dx=\frac{2\pi^4}{4\pi}
a_0=\frac{\pi^3}{2}


a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^3cos(2nx)dx=\frac{3cos(2n\pi)\pi}{2n^2}-\frac{3cos(2n\pi)}{4\pin^4}+\frac{sen(2n\pi)\pi^2}{n}-\frac{3sen(2n\pi)}{2n^3}+\frac{3}{4 \pi^4}
a_n=\frac{3\pi}{2n^2}

b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^3sin(2nx)dx
b_n=\frac{3}{2n^3}-\frac{\pi^2}{n}

f(x)=\frac{\pi^3}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{3\pi}{2n^2}cos(2nx) -(\frac{2n^2\pi^2-3}{2n^3})sen(2nx))

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