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Series de Taylor y Maclaurin

De por WikiMatematica.org


http://www.youtube.com/playlist?list=PLAFn9q_BCao_MaEmsg51Raho-UpszEUvv

Contenido

Serie de Taylor y Maclaurin

Sea

f(x)=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots+a_n(x+c)^n

la representación en serie de potencias de f(x).

Si derivamos obtenemos,

f'(x)=a_1+2a_2(x-c)+3a_3(x-c)^2\cdots+a_nn(x+c)^{n-1}

evaluamos en x=c

f'(c)=a_1

encontramos la segunda derivada

f''(x)=a_22+3\cdot 2a_3(x-c)\cdots+a_nn(n-1)(x+c)^{n-2}

evaluamos en x=c

f''(c)=2a_2

Encontramos la tercera derivada

f'''(x)= 3 \cdot 2a_3+4\cdot3\cdot2a_4(x-c)+5\cdot4\cdot3a_5(x-c)^2+\cdots+a_nn(n-1)(n-2)(x+c)^{n-4}

evaluamos en x=c

f'''(c)=3 \cdot 2a_3

Encontramos la cuarta derivada

f^{\textit{(iv)}}(x)= 4\cdot3\cdot2a_4+5\cdot4\cdot3(x-c)+6\cdot5\cdot4\cdot3a_6(x-c)^2+\cdots+a_nn(n-1)(n-2)(n-3)(x+c)^{n-4}

evaluamos en x=c

f^{\textit{(iv)}}(c)=4\cdot3\cdot2a_4

De esta manera podemos ver que

f^{(n)}(c)=n!a_n

resolvemos para a_n

a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}

Como f(x)=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots+a_k(x+c)^k+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n sustituimos a_n y obtenemos,

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n Serie de Taylor centrada en c

Si ahora hacemos c = 0 entoces obtenemos

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n Serie de Maclaurin


Ejemplo #1


Ejemplo #2

Ejemplo #3

Tomemos f(x)=cos(x)

La derivamos y obtenemos
f'(x)=-sen(x)
La derivamos y obtenemos
f''(x)=-cos(x)
La derivamos y obtenemos
f'''(x)=sen(x)
La derivamos y obtenemos
f^{iv}(x)=cos(x)
La derivamos y obtenemos
f^{v}(x)=-sen(x)
La derivamos y obtenemos
f^{vi}(x)=-cos(x)
La derivamos y obtenemos
f^{vii}(x)=sen(x)
La derivamos y obtenemos
f^{viii}(x)=cos(x)
La derivamos y obtenemos
f^{ix}(x)=-sen(x)
La derivamos y obtenemos
f^{x}(x)=-cos(x)
La derivamos y obtenemos
f^{xi}(x)=sen(x)
La derivamos y obtenemos
f^{xii}(x)=cos(x)
Bueno ahora ya podemos desarrollar las sumatorias.
Si sabemos que cos(x)= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Lo valuamos en 0 para centrarlo en 0
Ahora veamos como funcionan los Polinomios de Taylor
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT1.gif
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{2}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT2.gif
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{4}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT3.gif
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{6}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT4.gif
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{8}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT5.gif
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{10}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT6.gif
cos(x)\approx  \sum_{n=0}^{12}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n Esta es su grafica
GPT7.gif
Como pueden ver mientras mas grande sea la sumatoria más se parece a f(x)

Series Importantes

$f(x)=\frac{1}{1-x}$

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}= 1+x+x^{2}+x^{3}+...         (-1,1)

Serie de taylor de la funcion exponencia

e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...          (-\infty ,\infty )

Serie de taylor de la funcion seno

sen(x)= \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...    (-\infty ,\infty )

Serie de taylor de la funcion coseno

cos(x)= \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}= 1 -\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...       (-\infty ,\infty )

Ejemplo 1

Encuenre una serie para cos(2x)

Sabiendo que tenemos la serie cos(x)= \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}

Para encontrar la serie de cos(2x) simplemente sustituimos la x en la serie de cos(x) por 2x y obtenemos lo siguiente

cos(2x)= \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}= \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}

Ejemplo 2

Encuentre una serie de Maclaurin para f(x)=x^2 e^{-x}

Utilizando la serie e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} vemos que el exponente de la x se incrementará en 2 y que por tener e un exponente negativo tendremos una serie alternante, obteniendo así la serie para la función de la siguiente manera

x^2e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-x)^{n}x^2}{n!}
x^2e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n(x)^{n+2}}{n!}

Ejemplo 3

Las series de Maclaurin nos pueden ser útiles para encontrar integrales de los cuales no podemos sacar primitiva

Evalúe la integral utilizando series

\int e^{x^3}dx

Basandonos en la serie e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} construimos la serie para e^{x^3}

e^{x^3}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}

Lo que nos interesa es el integral, entonces lo que haremos es integrar la serie

\int e^{x^3}dx= \int \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}dx
\int e^{x^3}dx= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)n!}dx

Con ayuda de esta serie ya podemos evaluar una integral definida de la función e^{x^3}

Error de Propagación

796px-TaylorCosCos.png

Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

\Delta f(\tilde u) = |f(u) - f(\tilde u)|

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

{f(u) = f(\tilde u) + f'(\tilde u)(u - \tilde u) + {{f''(u)} \over {2!}}(u - \tilde u)^2 + \ldots \cr f(u) - f(\tilde u) \simeq f'(\tilde u)(u - \tilde u) \cr \Delta f(\tilde u) = |f'(\tilde u)|(u - \tilde u) \cr}

Estabilidad y Condición:

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.

Usando la serie de Taylor de primer orden:

f(x) = f(\tilde x) + f'(\tilde x)(x - \tilde x)

Estimando el error relativo de f(x) como en:

{{f(x) - f(\tilde x)} \over {f(x)}} \simeq {{f'(\tilde x)(x - \tilde x)} \over {f(\tilde x)}}

El error relativo de x está dado por:

{{x - \tilde x} \over x}

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:

Número Condicionado:

{{\tilde xf'(\tilde x)} \over {f(\tilde x)}}

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):

   *
     Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.
   *
     Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.
   *
     Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.

El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora.

El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.

No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas.La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero.

   *
     Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema.
   *
     Aritmética de precisión extendida.
   *
     Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor.

Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.

Ejemplo 3

Forme la serie de Maclaurin para el sen x y demuestre que representa a sen x.

f(x)= sen x  f(0)=0

f'(x)= cos x  f'(0)=1

f''(x)= -sen x  f''(0)=0

f'''(x)= cos x  f'''(0)=-1

Como se repiten las derivadas en ciclos de cuatro la serie se puede expresar como:

f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} +\frac{f'''(0)}{3!}x^{3} + ...


= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ... =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Ya que f^{(n+1)}(x) es \pmsenx o \pmcosx, se sabe que \left | f^{(n+1)}(x) \right |\leq  1 para toda x.


\left | R_{n}(x) \right | \leq \frac{M}{(n+1)!}\left | x^{n+1} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{n+1}}{(n+1)!}

    sen x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!} + ... 
      \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x^{2n +1}}{(2n+1)!}=

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http://www.youtube.com/watch?v=NcVaobiIVe4


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