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Series de potencias

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/NEv3S9Iz3ns

Una serie de potencias es una serie de la forma:

  \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}x^n = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^2 + c_{3}x^3 + ...  

donde x es una variable y las c_{n} son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función.

  f(x) = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^2 + ... + c_{n}x^n + ...

cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las cuales la serie es convergente. Observe que f es parecida a un polinomio. La única diferencia es que f tiene una cantidad infinita de términos.


Contenido

Ejemplo # 1

Para que valores de x la serie \sum_{n=0}^{\infty} n!x^n es convergente?

Al aplicar la regla de comparación. Si denota con a_{n} como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, después a_{n} = n!x^n. Si x\neq 0.


\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1} }{ a_{n}}\right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty } (n+1)\left | n\right |=\infty


Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando x\neq 0. En estos términos, la serie dada converge cuando x = 0.


VIDEO

Serie de Potencias


Ejemplo # 2

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}x^{n}}{(n+1)^{2}}

=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{3^{n+1}x^{n+1}}{(n+2)^{2}}}{\frac{3^{n}x^{n}}{(n+1)^{2}}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{3^{n+1}x^{n+1}(n+1)^{2}}{(n+2)^{2} 3^{n} x^{n}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|3x\left(\frac{n+1}{n+2}^\right)^{2}\right|<1

=\left|3x\right|\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{2}<1

=\left|3x\right|<1=\left|x\right|<\frac{1}{3}

  • -\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{3}=\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]

Ejemplo # 3

Sea \sum_{n=0}^{\infty}x^n

determinar su radio de convergencia y en que intervalo converge solucion: Usando criterio de la raiz \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | An \right |}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | x \right |^n}=\left | x \right |< 1

\left | x \right |< 1\Leftrightarrow -1< x< 1

x=-1

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n

diverge

x=1

\sum_{n=0}^{\infty}(1)^n

diverge

(-1,1) intervalo de convergencia

Ejemplo # 4

Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de la siguiente serie: \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n}}{\sqrt{n}}

\lim_{n\to \infty } \left | \frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}} * \frac{\sqrt{n}}{x^{n}} \right | < 1

\left | x \right | \lim_{n\to \infty } \sqrt{\frac{n}{n+1}} < 1

\left | x \right | < 1

r = 1

 intervalo  -1<x<1

Ejemplo # 5

Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de la siguiente serie: \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{n}}{n!}

\lim_{n\to \infty } \left | \frac{x^{n+1}}{\left (n+1  \right )!} * \frac{n!}{x^{n}} \right | < 1

\left | x \right | \lim_{n\to \infty } \frac{1}{n+1} < 1

 \lim_{n\to \infty } \frac{1}{n+1} = 0

\therefore la serie converge para cualquier valor de x

r = \infty

 intervalo  -\infty <x<\infty


Ejemplo # 6

Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie:

\sum_{n=0}^{\infty} nx^n

\lim_{n\to \infty} | (n+1) x^{n+1} * \frac{1}{n x^n} | < 1

\lim_{n\to \infty} | \frac{n(1+ 1/n)x}{n} | < 1

 |x| \lim_{n\to \infty} 1+1/n < 1

 |x| * 1 < 1

 |x| < 1

r = 1

Intervalo -1 < x < 1

--Davsalazar 23:29 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo # 7

Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}

\lim_{n\to \infty} | \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} * \frac{n^2}{x^n} | < 1

\lim_{n\to \infty} | \frac{x n^2}{n^2+2n+1} | < 1

 |x| \lim_{n\to \infty} | \frac{n^2}{n^2+2n+1} | < 1

 |x| \lim_{n\to \infty} | \frac{2n}{2n+2} | < 1

 |x| \lim_{n\to \infty} | \frac{2}{2} | < 1

 |x| * 1 < 1

 |x| < 1

r = 1

Intervalo -1 < x < 1

--Davsalazar 23:42 30 abr 2010 (CST)

Teorema de las series de potencias

Para una serie de potencias dada \sum_{n=0}^{\infty }C_n(x-a)^n

Solo existen 3 posibilidades:


i) La serie converge si  x = a 


ii) La serie converge para toda  x 


iii) Existe R\geq 0 tal que la serie converge si  \left |x-a \right |< R 


NOTA

El numero  R se denomina Radio de Convergencia, en el caso 1  R=0 y en el caso 2  R= \infty


NOTA, en general para cuando usamos criterio de series geométricas

 f(x) = \frac{1}{ax+b}


 = \frac{\frac{1}{b}}{1-(\frac{ax}{b})}


 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n a^n x^n}{b^{n+1}}

 | \frac{a}{b}x  | <  1

despejando...

 x < \frac{b}{a}

 -\frac{b}{a}<x< \frac{b}{a}

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