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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

De por WikiMatematica.org

(Redirigido desde Sistema de Ecuaciones Lineales)

Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas consisten en dos o más ecuaciones con derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente. Si x, y y z son funciones de la variable t,

4\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -5x + y             x' - 3x + y' + z' = 5
                                   x'          - y' + 2z' = t'{2}
2\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = 3x - y                x + y' - 6z' = t - 1

son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultaneas.

Solución de un sistema

Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciables x = φ_{1}(t), y =  φ _{2}(t), z = φ _{3}(t), etc., que satisfacen cada ecuación del sistema en un intervalo común I.

Eliminación sistemática

El primer metodo que describiremos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de la eliminación sistematica de variables. El análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar una ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. Para este fin, se reformulan las ecuaciones de un sistema en términos del operador diferencial D. Recordar:

a_{n}y^{n} + a_{n - 1}y^{n - 1} + ... + a_{1}y' + a_{0}y = g(t)


en donde las a_{i}, i=0,1,...,n son constantes, se puede escribir en la forma

(a_{n}D^{n} + a_{n - 1}D^{n - 1} + ... + a_{1}D + a_{0})D = g(t)


El operador diferencial n,a_{n}D^{n} + a_{n - 1}D^{n - 1} + ... + a_{1}D + a_{0} se representa en la forma abreviada P(D). Como P(D) es un polinomio de D, podemos factorizarlo en operadores diferenciales de orden menor. Ademas, los factores de P(D) son conmutativos.


Ejemplo #1

Resolver Dx + (d + 2) = 0 (D - 3)x - 2y = 0

Solucion Al operar con D - 3 en la primera ecuacion, con D en la segunda y restando, se elimina la x del sistema. Entonces, la ecuacion diferencial para y es:

[(D - 3)(D + 2) + 2D]y = 0 = (D^{2} + D -6y)y


dado que la ecuacion caracteristica de la ultima diferencial es m^{2} + m - 6 = (m - 2)(m + 3) = 0, llegamos a la solución
y(t) = c_{1}e^{2t} +c_{2}e^{-3t}
eliminamos "y" en forma similar y vemos que (D^{2} + D -6)x = 0, de donde se obtiene
x(t) = c_{3}e^{2t} +c_{4}e^{-3t}
Una solucion del problema no contiene constantes independientes, porque el sistema mismo establece una restricción en el numero de constantes que se puede elegir en gorma arbitraria. Al sustituir los resultados obtenidos anteriormente en la primera ecuación del problema.

(4c_{1} + 2c_{3})e^{2t} + (-c_{2} - 3c_{4})e^{-3t} = 0
de aqui podemos obtener las siguientes ecuaciones
x(t) = -2c_{1}e^{2t} -⅓c_{2}e^{-3t}
y(t) = c_{1}e^{2t} + c_{2}e^{-3t}

Al resolver los sistemas de ecuaciones conviene fijarse bien en lo que se hace pues a veces se consiguen ventajas. Si hubiéramos resuelto primero para x, luego podríamos haber hallado y y la relación entre las constantes mediante la última ecuación de el problema.

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