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Sistemas mecánicos

De por WikiMatematica.org

Recordatorio:

Para un sistema con resorte:

SistMecanicoResorte.jpg



F=-kx




Para uno con amortiguador:

SistMecanicoAmortiguador.jpg



F=f_{v}\dot{x}




Para uno con una masa:

SistMecanicoMasa.jpg



F=m\ddot{x}






Definimos la impedancia como:

Z(P)=\frac{F(P))}{X(P)}=G(P))


Ejemplo 1

Calcular G(P) para el sistema mecánico siguiente:

TS2Ejemplo1SistMecanicos.jpg











hagamos su diagrama de cuerpo libre:

TS2Ejemplo1SistMecanicosDCL.jpg











\sum F = 0


f(t)-m\ddot{x}-f_{v}\dot{x}-kx=0 //\pounds \{ \}


Recordemos que y(P)\to \sqsubset G(P)\sqsupset \to X(P)

entonces:

mP^2X(P)+f_{v}PX(P)+kX(P)=F(P)


[mP^2+f_{v}P+k]X(P)=F(P)


\frac{X(P)}{F(P)}=\frac{1}{mP^2+f_{v}P+k}=G(P)

Ejemplo 2

Calcular ecuaciones dinámicas y de lectura para el siguiente sistema:

TS2Ejemplo2SistMecanicos.jpg














Bloque 1

Bloque 1 en movimiento, bloque 2 estático
Bloque 1 estático, bloque 2 en movimiento



f(t)+k_{2}x_{2}+f_{v_{2}}\dot{x_{2}}-k_{1}x_{1}-f_{v_{3}}\dot{x_{1}}-m_{1}\ddot{x_{1}}-k_{2}k_{1}-f_{v_{2}}\dot{x_{1}}=0

f(t)+k_{2}x_{2}+f_{v_{2}}\dot{x_{2}}-m_{1}\ddot{x_{1}}-(f_{v_{1}}+f_{v_{2}}+f_{v_{3}})\dot{x_{1}}-(k_{1}+k_{2})x_{1}=0

m_{1}\ddot{x_{1}}+(f_{v_{1}}+f_{v_{2}}+f_{v_{3}})\dot{x_{1}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-f_{v_{2}}\dot{x_{2}}-k_{2}x_{2}=f(t) _//


Bloque 2

Bloque 2 en movimiento, bloque 1 estático
Bloque 2 estático, bloque 1 en movimiento


f_{v_{2}}\dot{x_{1}}+k_{2}x_{1}-m_{2}\ddot{x_{2}}-(f_{v_{2}}+f_{v_{4}})\dot{x_{2}}-(k_{2}+k_{3})x_{2}=0 _//


Dado que para los bloques tenemos 2 ecuaciones, y dado que ambas son de 2º orden, entonces tendremos 4 variables de estado.


q_{1}=x_{1}\rightarrow \dot{q_{1}}=q_{2}

q_{1}=\dot{x_{1}}\rightarrow \dot{q_{2}}=-\frac{(k_{1}+k_{2})}{m_{1}}q_{1}-\frac{(f_{v_{1}}+f_{v_{2}}+f_{v_{3}})}{m_{1}}q_{2}+\frac{k_{2}}{m_{1}}q_{3}+\frac{f_{v_{2}}}{m_{1}}\dot{q_{4}}+f(t))

q_{3}=x_{2}\rightarrow \dot{q_{3}}=q_{4}

q_{4}=\dot{x_{2}}\rightarrow \dot{q_{4}}=\frac{k_{2}}{m_{2}}q_{1}+\frac{f_{v_{2}}}{m_{2}}q_{2}-\frac{(k_{2}+k_{3})}{m_{2}}q_{3}-\frac{(f_{v_{2}}+f_{v_{4}})}{m_{2}}q_{4}


Ecuaciones Dinámicas

\underline{\dot{q}(t)}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ -\frac{(k_{1}+k_{2})}{m_{1}} & -\frac{(f_{v_{1}}+f_{v_{2}}+f_{v_{3}})}{m_{1}} & \frac{k_{2}}{m_{1}} & \frac{f_{v_{2}}}{m_{1}}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \frac{k_{2}}{m_{2}} & \frac{f_{v_{2}}}{m_{2}} & -\frac{(k_{2}+k_{3})}{m_{2}} & -\frac{(f_{v_{2}}+f_{v_{4}})}{m_{2}} \end{bmatrix}\underline{q(t)}+\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\underline{f(t)}


Ecuaciones de Lectura

\underline{x(t)}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\underline{q(t)}+\phi f(t)


--Kinglacho 19:14 28 sep 2009 (CST)

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