.

Solución de una ecuación diferencial

De por WikiMatematica.org

La solución de una ecuación diferencial es la función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones:

1) Solución general: Esta expresada con una o mas constantes. La solución general es un conjunto de curvas y tiene un orden de infinitud definido por a su cantidad de constantes. ESi La ecuación es Lineal, se logra la solución general como una combinación lineal de las soluciones, que son tantas como el orden de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

2) Solución particular: Si fijando cualquier punto P por donde debe pasar la solución de la ecuación diferencial, hay un valor único de la constante, y de la curva integral que satisface la ecuación, recibe el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P, que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la o las constantes reciben un valor específico.

3) Solución singular: Es la que verifica la ecuación, pero no se obtiene al particularizar la ecuación general.



Ejemplo # 1

  • Comprobar que  y(x)=e^{-x} es solución de la edo  \frac{dy}{dx}+y =0

Obtenemos la derivada necesarias para la sustitución  y^{'}=-e^{-x} , Ahora sustituyendo en ecuación  \frac{dy}{dx}+y =0 , se procede a comprobar la igualdad.  -e^{-x} + e^{-x} y efectivamente se cumple la igualdad  0=0 por lo tanto  y(x)=e^{-x} es solución de la EDO  \frac{dy}{dx}+y =0 .

Solución particular  y(x)=e^{-x} .

Solución general  \frac{dy}{dx}+y =0 .


Ejemplo # 2

  • Comprobar que  y(x)=xe^{x} es solución de la edo  y^{''}-2y^{'}+y =0

 y^{'}= e^{x} + xe^{x}

 y^{''}= 2e^{x} + xe^{x}

 2e^{x} + xe^{x} - 2(e^{x} + xe^{x}) + xe^{x} = 0

 2e^{x} + xe^{x} - 2e^{x} - 2xe^{x} + xe^{x} = 0

 2e^{x} + 2xe^{x} -2e^{x} - 2xe^{x} = 0

por lo tanto  0=0 entonces  y(x)=xe^{x} es solución de la EDO  y^{''}-2y^{'}+y =0

Anuncios