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Soluciones en forma de series

De por WikiMatematica.org

Numerosas ecuaciones diferenciales no se pueden resolver explicitamente en terminos de combinaciones finitas de funciones simples conocidas. Por ejemplo:

y''-2xy'+y=0 


Por lo cual debemos emplear el metodo de serie de potencias, es decir, buscamos una solucion de la forma:

y=f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n}=c_0+c_1x+c_2x^{2}+c_3x^{3}+... 


Dicho metodo consiste en sustituir esta expresion en la ecuacion diferencial y determinar los valores de los coeficientes c_0,c_1,c_2,....


Ejemplo # 1

Utilice una serie de potencias para resolver la ecuacion y''+y=0 Solucion: Supongamos que hay una solucion de la forma y=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+...=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n


Podemos derivar una serie de potencias termino a termino, y y'=c_1+2c_2x+3c_3x^2+...=\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^n-1


y''=2c_2+2*3c_3x+...=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^n-2


Para comprar las expresiones para y y y'' con mas facilidad, escribimos y'' como sigue: y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n


Sustituyendo las expresiones de las ecuaciones anteriores en la ecuacion diferencial obtenemos:

\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0


O bien \sum_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)c_{n+2}+c_n]x^n=0


Si dos series de potencias son iguales, entonces los coeficientes correspondientes deben ser iguales. Por tanto, los coeficientes de x^n de la ecuacion anterios deben ser 0:


(n+2)(n+1)c_{n+2}+c_n=0


c_{n+2}=-\frac{c_n}{(n+1)(n+2)}  n=0,1,2,3...


Esta ecuacion es conocida como relacion de recurrencia. Si se conocen c_0 y c_1 esta ecuacion nos permite determinar los coeficientes restantes de manera recursiva poniendo  n=0,1,2,3...
sucesivamente.


Para coeficientes pares: c_{2n}=(-1)^n\frac{c_0}{(2n)!}


Para coeficientes impares: c_{2n+1}=(-1)^n\frac{c_1}{(2n+1)!}


Sustituyendo estos valores en la ecuacion, podemos escribir la solucion como: y=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+...


=c_0(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...)+c_1(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...)


=c_0\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+c_1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}


Si reconocemos a esta serie como una serie de MacLaurin para coseno y seno podemos escribir la solucion de la siguiente manera: y(x)=c_0cos(x)+c_1sen(x)


Por lo general no se puede expresar las soluciones de ecuaciones diferenciales en forma de series de potencias en terminos de funciones conocidas.

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