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Sucesiones Aritméticas y Geométricas

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Definición de sucesión aritmética

Una sucesión a_{1}, a_{2},...,a_{n},... es una sucesión aritmética si hay un número real d tal que para todo entero positivo k , 

                                                        a_{k+1}=a_{k}+d.

El número d=a_{k+1}-a_{k} se le llama diferencial común de la sucesión.

Dada una sucesion aritmetica: 

     ak+1 = ak + d

para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta

Observa que la diferencia común d es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.


El n-ésimo término de una sucesión aritmética

                                                      a_{n}=a_{n-1}+(n-1)d


Teorema: fórmulas para S_{n}

Si a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},... es una sucesión aritmética con diferencia común d, entonces la n-ésima suma parcial S_{n} (esto es, la suma de los primeros n términos), está dada por 

                                        S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]      o      S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{2})

Demostración

Podemos escribir
S_{n}=a_{1}+a_{2} +a_{3} +...+a_{n}
=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+...+[a_{1}+(n-1)d].

Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
S_{n}=(a_{1}+a_{1}+a_{1}+...+a_{1})+[d+2d+...+(n-1)d],

con a_{1} n veces dentro del primer par de paréntesis. Así
Sn=na_{1}+d[1+2+...+(n-1)].

La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros n-1 enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros n enteros positivos, S_{n}=n(n+1)/2, entonces tenemos 

                                                   1+2+...+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}

Sustituimos en la última ecuación por S_{n} y factorizamos n/2con lo cual 

                                       S_{n}=na_{1}+d\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d].

Puesto que a_{n} = a_{1}+(n-1)d, la última ecuación es equivalente a 

                                                      S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}).

Historia de Gauss

LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que habia terminado, la maestra pensó, "Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.

Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Una sucesión a_{1}, a_{2},..., a_{n},... es una sucesión geométrica si a_{1} \neq 0 y si hay un número real r \neq 0 tal que para todo entero positivo k, 

                                                        a_{k+1} = a_{k}.r..

El número r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}} se conoce la razón común de la sucesión.

Observa que la razón común r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}} es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

                                                        a_{n}=a_{1}.r^{n-1}.


Teorema: fórmula para hallar S_{n}

La n-ésima suma parcial S_{n} de una sucesión geométrica con primer término a_{1} y razón común r \neq 1 es 

                                                        S_{n} = a_{1} \frac {1-r^n}{1-r}.

Demostración

Por definición, la n-ésima suma parcial S_{n} de una sucesión geométrica es 

                                     S_{n} = a_{1} + a_{1}r + a_{1}r^2 + ... + a_{1}r^(n-2) + a_{1}r^(n-1). (1)


Si multiplicamos ambos lados de (1) por r obtenemos 

                                   rS_{n} = a_{1}r + a_{1}r^2 + a_{1}r^3 + ... + a_{1}r^(n-1) + a_{1}r^(n). (2)


Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos: 

                                              S_{n} - rS_{n} = a_{1} - a_{1}r^(n).

factorizar ambos miembros. 

                                                 S_{n}(1 - r) = a_{1}(1 - r^n).

dividir entre (1-r) 

                                                  S_{n} = a_{1} \frac {1 - r^n}{1 - r}.

Ejemplos

Ejemplo #1

Pruebe que la sucesión a_{n}={(3n-1)} cuando n pertenece a los numeros Enteros es una sucesión aritmética.

a_{k+1} - a_{k}= d

[3(k+1)-2] - [3_{k} - 2]= d

3_{k} + 3 - 2 - 3_{k} + 2 = d
3 = d

a_{1}, (a_{1}+ d), (a_{1}+2d), (a_{1} + 3d), ....

\sum a_{n}= a_{1} + (a_{1}+ d) + (a_{1}+2d) + ....

S_{1}= a_{1},
S_{2}= a_{1} + (a_{1}+d) = 2a_{1} + d
S_{3}= (2a_{1}+d) + (a_{1}+2d) = 3a_{1} + 3d
S_{4}= (3a_{1} + 3d) + (a_{1} + 3d) = 4a_{1} + 6d

S_{5}= 5a_{1} + 10d
S_{6}= 6a_{1} + 15d

S_{n}= na_{1} + (n! + 1) d

S_{n}= na_{1} + \frac{n(n+1)}{2} == S_{n} = na_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d

Suma hasta el n-esimo término.

S_{n}= \frac{n}{2}[2a_{1} + (n - 1)d]

Generar el n-esimo término.

a_{n}= a_{1} + (n -1)d

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)


Ejemplo #2

Los tres primeros términos de una sucesión aritmética son 20, 16.5, 13, ... Encuentre el 15º término.

16.5 - 20 = -3.5

a_{15}= 20 + 14(-3.5)

a_{15}= -29

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #3

Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno es 20, indique el 6to término.

Identificamos a_{n} conocidos, en este caso a_{4} por ser el cuarto término y a_{9} por ser el noveno termino.

a_{4}= 5 ------------> a_{1} + 3d = 5
a_{9}= 20 ----------> a_{1} + 8d = 20

Indentificamos el termino que queremos encontrar

a_{6}= ?

Operamos

a_{1} = 5 - 3d

5-3d + 8d = 20
5 + 5d = 20
5d = 15
d = 3

a_{1} + 3(3)= 5
a_{1}= 5 - 9
a_{1}= -4

Sustituimos en el termino que queremos encontrar, es decir, a_{6}

a_{6} = -4 + 5(3)

a_{6} = 11



Ejemplo #4

    Si la sucesión es 1,0.3,0.09,0.027.... es geométrica encuentre la suma de los primeros 5 términos.

a1=1 r=o.3

S_{5}= 1-(0.3exp5)/1-0.3=1.4251


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