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Sucesiones Monótonas

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Teorema de las Suceciones Monotonas Toda sucesion acotada y monotona es convergente Demostración Supongamos que a_{n} es una sucesion creciente. Dado quea_{n} es una sucesión acotada. el conjunto S=a_{n}| {n}>= 1 tiene una cota superior. Por el axioma de completez tien una minima cota superior L. Dado que ɛ> 0, L -ɛ no es una cota superior de S (pues L es la mínima cota superior).

Una sucesión es monotona si es monotona creciente o monotona decreciente.
  • Monotona Creciente

Se dice que una sucesión es monotona creciente si se cumple:

a_{n}< a_{n+1}

Es decir, que si el término siguiente ({n+1}) de la sucesión es mayor al término actual ({n}).

   Ejemplo: 
a_{n}= n^{2}+2
  • Monotona Decreciente

Se dice que sucesión es monotona decreciente si se cumple: a_{n}> a_{n+1}

Es decir, el término siguiente ({n+1}) es menor al término actual ({n}).

   Ejemplo: 
a_{n}=\frac{1}{n}.
  • Ejemplos de sucesiones

a_{n}=\frac{n+2}{2n-1},

n=1,2,3,4

3,\frac{4}{3}, 1, \frac{6}{7} la sucesion va decreciendo

a_{n}-a_{n+1}> 0

Sustituimos n por (n+1)

\frac{n+2}{2n-1}-\frac{(n+1)+2}{2(n+1)-1}> 0

\frac{2n^{2}+n+4n+2+2n^{2}+6n+n+3}{4n^{2}-1}>0

\frac{5}{4n^{2}-1}>0

  • Es una sucesion monotona decreciente.


Ejemplo de suceción

a_{n}=\frac{n}{n+1}

\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6} < \frac{7}{8}

Por lo tando es monotona creciente.

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