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Suma Inferior de Darboux

De por WikiMatematica.org

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: \(\Delta x =\frac{b-a}{n}


Teniendo los intervalos: \[[x_0,x_1],[x_1,x_2],[x_2,x_3],...,[x_n-1,x_n]

La ecuación para la suma inferior de Darboux es la siguiente:

\ L_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x

donde f(x_{i-1}) es la función valuada en el extremo izquierdo y \ x_{i-1}=\ a+\Delta x*(i-1).

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: \sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}

Podemos obtener las siguientes igualdades:

\sum_{i=1}^{n}i=1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}
\sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{i=1}^{n}i^3=1^3+2^3+...+n^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}
\sum_{i=1}^{n}C=C*n (donde C es constante)

Ejemplo 1

Evaluar la Suma Inferior de Darboux para  f(x) = x^2 con a = 0, b = 1, y n = 4

\Delta x = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4}

x_i-1 = 0 + \frac{1}{4} *(i-1) = \frac{i-1}{4}

\ L_4=\sum_{i=1}^{4}(\frac{i-1}{4})^2*\frac{1}{4}

\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} \frac{(i-1)^2}{16}

\frac{1}{64} \sum_{i=1}^{4} (i-1)^2

\frac{1}{64} \sum_{i=1}^{4} i^2 - 2i +1

\frac{1}{64} [(\frac{4(4+1)(8+1)}{6}) - 2(\frac{4(4 +1)}{2}) + 4]

\frac{1}{64} [30 - 20 + 4] = \frac{1}{64}(14) = \frac{7}{32}

L_4 = 0.21875

|xavirobles| (doc)


Ejemplo 2

\int_{0}^{2}(2-x^2)dx

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}[2-x^2_{i}]\Delta x

\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}

\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}(2-[\frac{2i}{n}]^2)\frac{2}{n}

\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}[\frac{4}{n} - \frac{8i^2}{n^3}]

\lim_{n\rightarrow \infty}[\sum_{i=1}^{n} \frac{4}{n} - \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2]

\lim_{n\rightarrow \infty}[4 - \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]

\lim_{n\rightarrow \infty} 4 - \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}

 4 - \frac{4}{3} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}

 4 - \frac{4}{3} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2(1 + \frac{1}{n})(2 + \frac{1}{n})}{n^2}

 4 - \frac{4}{3} * 2

 4 - \frac{8}{3} =

 \frac{4}{3}

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