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Suma de Riemann

De por WikiMatematica.org


Contenido

Introducción

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann


Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: \Delta x =\frac{b-a}{n}


Teniendo los intervalos: \[[x_0,x_1],[x_1,x_2],[x_2,x_3],...,[x_n-1,x_n]

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

\ RL_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x

donde (x_i^*)=\frac{x_i+x_{i-1}}{2} haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: \sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}

Podemos obtener las siguientes igualdades:

\sum_{i=1}^{n}i=1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}
\sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{i=1}^{n}i^3=1^3+2^3+...+n^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}
\sum_{i=1}^{n}C=C*n (donde C es constante)

Ejemplos

Ejemplo # 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

f(x)=2-x^2 ,límites [0,2]


=\sum_{i=1}^{4}f(x_i) dx
=0.5[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)]
=0.5[1.75+1-0.25-2]
=0.5(0.5)=0.25

La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje x, menos la suma de las areas debajo del eje x; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje x.


Ejemplo # 2

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función:

f(x)=ln-1 ,límites [1,4]
=\sum_{i=1}^{6}f(x_i) dx
=0.5[f(1)+f(1.5)+f(2)+f(2.5)+f(3)+f(3.5)]
=0.5(-1-0.5945349-0.3068528-0.0837093+0.0986123+0.25273)
=0.5(-1.6337217)=-0.816861


Ejemplo # 3

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

f(x)=x-2sen(2x),límites [0,3]
=\sum_{i=1}^{6}f(x_i) dx
=0.5[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)+ f(2.5)+f(3)]
=5.353254


Ejemplo # 4

Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:

f(x)=sqrt(x)-1,límites [1,6]
=\sum_{i=1}^{5}f(x_i) dx
=1[f(1.5)+f(2.5)+f(3.5)+f(4.5)+f(5.5)]
=-0.856759


Enlaces

  1. Notación Sigma
  2. Suma Superior de Darboux
  3. Suma Inferior de Darboux
  4. Integral de Riemann

Videos

http://www.youtube.com/watch?v=1bi3B3JuJTU

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