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Sustitución trigonométrica

De por WikiMatematica.org


http://www.youtube.com/playlist?list=PL4D93B381059E6096

Contenido

Integrales por Sustitución Trigonométrica

Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma de:

 x^{2} + a^{2}     x^{2} - a^{2}       a^{2} - x^{2}

Nota

Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo, colocando un \Theta que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar la integral se colocan los datos recibidos en ella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es allí en donde utilizamos las sustituciones trigonométricas, por medio de las identidades trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga \sin\Theta, \cos\Theta, \tan\Theta, etc.

Es parecido a utilizar el método de Sustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades trigonométricas.

Sustitución #1 x^{2} + a^{2}

X+a.jpg

      tan\theta = \frac{x}{a}

despejar la x de la siguiente manera:

    x = a*tan\theta
    dx = a*sec^2 \theta d\theta
    sec\theta = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a} 
    \sqrt{x^2 + a^2}= a*sec\theta

Sustitución #2 x^{2} - a^{2}

X-a.jpg

  cos\theta = \frac{a}{x} despejamos X de tal manera que 
  
  x = a*sec\theta y 
  
  dx = a*sec\theta *tan\theta d\theta  
  \sqrt{x^{2} - a^2} = a*tan\theta

Sustitución # 3 a^{2} - x^{2}

A-x.jpg

 sen\theta = \frac{x}{a}

despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera

   x=a*sen\theta   y
   dx = a*cos\theta d\theta   por lo tanto
   cos\theta=\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}

entonces :

   \sqrt{a^2 - x^2}= a*cos\theta

Ejemplo # 1

  •  \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}}\;dx
X-3.png


Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

 sec\theta= \frac{x}{3}

Despejamos x luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:

x=3sec\theta

dx=3sec\theta\tan\theta\;d\theta

Luego tenemos:

tan\theta=\frac{\sqrt{x^2-9}}{3}

Despejamos \sqrt{x^2-9} nos queda asi:

\sqrt{x^2-9}=3\tan\theta

Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:

\int\frac{1}{(3sec\theta)^2(3tan\theta)}\;3sec\theta\tan\theta\;d\theta

En esta parte se eliminan 3tan\theta y sec\theta y nos queda:

\int \frac{1}{9(sec\theta)}\;d\theta

Como el \frac{1}{9} es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad trigonométrica cos\theta=\frac{1}{sec\theta}

\frac{1}{9}\int\frac{1}{sec\theta}\;d\theta=\frac{1}{9}\int\cos\theta\;d\theta

La integral de \frac{1}{9}\int\cos\theta\;d\theta=\frac{1}{9}[sen\theta]+C

Ya por ultimo sacamos sen\theta de nuestro triangulo y el resultado final es:

  • \frac{1}{9}[\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}]+C

Ejemplo # 2

  •  \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}
X+4.png

Utilizamos nuestro triangulo para obtener nuestras funciones trigonométricas:

tan\theta=\frac{x}{4} luego despejamos x y le sacamos su diferencial:

x=4tan\theta

  • dx=4sec^2\theta\;d\theta

Para \sqrt{x^2+16} intentamos buscar una función trigonométrica para que sea mas fácil sustituirla en la integral, la que se va utilizar seria sec\theta:

sec\theta=\frac{\sqrt{x^2+16}}{4}

  • \sqrt{x^2+16}=4sec\theta

Ahora que tenemos nuestros datos lo podemos sustituir en la integral, y operamos:

  • \int\frac{4sec^2\theta}{4sec\theta}\;d\theta=\int\sec\theta\;d\theta

Sabemos que la \int\sec\theta\;d\theta=Ln[\sec\theta+tan\theta]+C

Luego solo buscamos una función trigonométrica de nuestro triangulo y el resultado final es:

  • Ln[\frac{\sqrt{x^2+16}}{4}+\frac{x}{4}]+C

Ejemplo #3


Resuelva.
\int \sqrt{x^{2}+2x}dx
Como se puede notar esta función no tiene ninguna de las formas (a+x, a-x,x-a)
pero podemos complementar al cuadrado.
\int \sqrt{(x-1)^{2}-1}dx

E3.JPG

formamos el triangulo.


tenemos que:
x-1=\sec (\Theta )
x=1+\sec (\Theta )
dx=\sec (\Theta )*\tan (\Theta )d\Theta
\sqrt{(x-1)^{2}-1}=\tan (\Theta )
Sustituyendo.
\int \tan (\Theta )*\sec (\Theta )*\tan (\Theta )d\Theta=\int \tan ^{2}(\Theta )*\sec (\Theta )d\Theta
Resolvemos.

\int \tan ^{2}(\Theta )*\sec (\Theta )d\Theta
\int (sec^{2}(\Theta )-1)*\sec (\Theta )d\Theta
\int (sec^{3}(\Theta )- \int \sec (\Theta )d\Theta
 \frac{1}{2}\sec (\Theta )\tan (\Theta)-\frac{1}{2}\ln(\sec(\Theta)+\tan(\Theta))+c
bucamos la funcion trigonometrica en el triangulo.
 \frac{1}{2}(x-1)\sqrt{x^{2}-2x}-\frac{1}{2}\ln((x-1)+\sqrt{x^{2}-2x})+c
--Jorgetr 16:01 31 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 4


Demuestre
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} dx=\frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a})+c
IMAGEN
 \tan(\Theta)=\frac{x}{a}
 x= a*\tan(\Theta)
derivamos.
 dx=a*\sec^{2}(\Theta) d\Theta
 \sqrt{x^{2}+a^{2}}= a*\sec(\Theta)
elevamos al cuadrado.
 {x^{2}+a^{2}}= a^{2}*\sec^{2}(\Theta)
Sustituios.

\int \frac{a*\sec^{2}(\Theta)}{a^{2}*\sec^{2}(\Theta)} d\Theta

Simplificando

\int \frac{1}{a} d\Theta

\frac{1}{a} \int  d\Theta

\frac{1}{a} \Theta +c

despejamos \Theta .

 \tan(\Theta)=\frac{x}{a}

 (\Theta)=\tan^{-1}\frac{x}{a}

Sustituimos.

=\frac{1}{a} \tan^{-1}\frac{x}{a}+c


--Jorgetr 17:15 31 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 5

 \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}dx

 x=tan\theta
 dx=sec^{3}\theta d\theta

\sqrt{x^{2}+1}=Sec\theta

elevamos al Cubo (x^{2}+1)^{3/2}=Sec^{3}\theta

Sustituimos en la Integral   \int \frac{sec^{2}\theta}{sec^{3}\theta}d\theta

 \int \frac{1}{sec\theta}d\theta
 \int cos\theta d\theta

Integramos y nos queda  sen\theta
Sustituimos el Seno por Opuesto que es x y la hipotenusa.  \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+c --Antonio Moran 19:04 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 6

\int \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}dx

 2x=tan\theta
 x=\frac{1}{2}tan\theta

dx=\frac{1}{2} sec^2\theta d\theta

\sqrt{4x^2+1}=sec\theta

 \frac{1}{2}\int \frac{1}{sec\theta} sec^2\theta d\theta

 \frac{1}{2}\int sec\theta d\theta

\frac{1}{2} ln(sec\theta + tan\theta)

\frac{1}{2} ln(\sqrt{4x^2+1} + 2x)+C

--Antonio Moran 23:07 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 7

 \int \frac {du}{u \sqrt {u^2-a^2}}

 Sec\theta = \frac{u}{a}

 aSec\theta = u Derivamos esta ecuacion y nos queda....

 aSec\theta tan\theta d\theta= du

 atan\theta = \sqrt{u^2-a^2}

Sustituimos nuestras funciones trigonometricas en la integral...

 \int \frac {aSec\theta tan\theta}{aSec\theta atan\theta}d\theta

 \int \frac{a}{a^2} d\theta

 \int \frac{1}{a} d\theta

 \frac{1}{a} int/ d\theta

Integramos....

 \frac{1}{a} Sec^{-1} \frac{u}{a} +c

--Antonio Moran 13:02 16 ago 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 8

 \int \frac {du}\sqrt {a^2-u^2}

 Sen\theta = \frac{\sqrt{a^2-u^2}}{u}

 aSen\theta = sqrt{a^2-u^2}

 Cos\theta = \frac{u}{a}

 aCos\theta = u

Derivamos la ecuacion.....

 -aSen\theta d\theta = du

Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...

 - \int \frac{aSen\theta}{aSen\theta} d\theta

Eliminamos los Senos y las constantes...

 \int d\theta

Integramos...

Sen^{-1} \frac{u}{a} + C

--Antonio Moran 13:15 16 ago 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 9

 \int \sqrt{a^2+u^2}du

Sec\theta= \sqrt{a^2+u^2}

 tan\theta = \frac{u}{a}

 a tan\theta = u

Derivamos la ecuacion...

aSec^2\theta d\theta=du

Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...

\int aSec\theta*aSec^2\theta d\theta

 a^2 \int Sec\theta  Sec\theta d\theta

Hacemos esta integral por partes...

 u=Sec\theta

 dv=Sec^2\theta d\theta

 du=Sec\theta tan\theta d\theta

v=tan\theta

 a^2[Sec\theta tan\theta - \int Sec\theta tan^2\theta d\theta]

 Sec\theta tan\theta - \int Sec\theta(Sec^2\theta - 1)d\theta

Sec\theta tan\theta - \int Sec^3\theta - Sec\theta d\theta

2 \int Sec^3 =a^2[Sec\theta tan\theta + \int Sec\theta d\theta]

 \int Sec^3 = a^2 \frac { \frac {\sqrt {a^2-u^2}}{a} * \frac{u}{a} + ln( \frac{\sqrt {a^2+u^2}}{a} + \frac{u}{a})}{2}

 \frac{u}{2} \sqrt {a^2+u^2} + \frac{a^2}{2} ln( \frac{\sqrt {a^2+u^2} + u}{a}) + C

Aplicamos leyes de logaritmos y nos queda.....

  \frac{u}{2} \sqrt {a^2+u^2} + \frac{a^2}{2} ln( \sqrt {a^2+u^2} + u) -ln(a) + C

Tomamos a C -ln(a) como una constate K....

  \frac{u}{2} \sqrt {a^2+u^2} + \frac{a^2}{2} ln( \sqrt {a^2+u^2} + u) + K

--Antonio Moran 15:35 16 ago 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo #10


Resuelva.
\int \(x^{2}+1)^{8}xdx tenemos que nuestra U=x^{2}+1
dU=2xdx
\frac {1}{2}dU=xdx sustituimos
\frac{1}{2}\int \ U^{8}dU la primitiva
\frac{1}{9}U^{9}esto lo multiplicamos por \frac{1}{2}
\int \(x^{2}+1)^{8}xdx = \frac{1}{18}(x^{2}+1)^{9} + C

Ejemplo #11


Resuelva.
\int \ x cos x^{2} dx tenemos que nuestra U=x^{2}
dU=2xdx
 \frac {1}{2}dU=xdx sustituimos
\frac{1}{2}\int \ cos U dU la primitiva
sen Uesto lo multiplicamos por \frac{1}{2}
\int \ x cos x^{2} dx = \frac{1}{2}sen(x^{2}) + C

Ejemplo #12


Resuelva.
\int \  \frac{x}{x^{2}} dx
tenemos que nuestra
U=x^{2}
dU=2xdx
 \frac {1}{2}dU=xdx sustituimos
\frac{1}{2}\int \ \frac {dU}{U} la primitiva
Ln Uesto lo multiplicamos por \frac{1}{2}
obtenemos de resultado que
\int\frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{2} Ln x^{2} + C


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