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Teorema de Caley Hamilton

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Contenido

Teorema de Caley - Hamilton

La Ecuacion Secular:

det\begin{bmatrix}PI-A\end{bmatrix}=0



El teorema de Caley-Hamilton dice que la siguiente proposicion es verdadera.

a_{n}A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_{1}A+a_{0}I=0


Ejemplos

Ejemplo 1

1) q'(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}Y(t)


2) Encontramos la Ecuacion Secular


det\begin{bmatrix}P&-1\\2&P+3\end{bmatrix}=0

P(P+3)+2=0

P^{2}+3P+2=0


Comprobamos el Teorema de Caley-Hamilton


I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}


A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}


A^{2}=\begin{bmatrix}-2&-3\\6&7\end{bmatrix}


A^{2}+3A+2I=0


=\begin{bmatrix}-2&-3\\6&7\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}


=\begin{bmatrix}-2+0+2&-3+3+0\\6-6+0&7-9+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}



Por el Teorema C.H.


a_{n}A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_{1}A+a_{0}I=0


A^{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}A^{n-1}-\frac{a_{n-2}}{a_{n}}A^{n-2}-...-\frac{a_{1}}{a_{n}}A-\frac{a_{1}}{a_{n}}I


A^{n}=\alpha_{n-1}A^{n-1}+\alpha_{n-2}A^{n-2}+...+\alpha_{1}A+\alpha_{0}I


A^{n+1}=\alpha_{n-1}AA^{n-1}+\alpha_{n-2}AA^{n-2}+...+\alpha_{1}AA+\alpha_{0}AI


donde

\alpha_{n-1}A es una constante \Rightarrow \beta_{n-1}

\alpha_{n-2}A \Rightarrow \beta_{n-2} ...


Sustituyendo:


A^{n+1}=\beta_{n-1}A^{n-1}+\beta_{n-2}A^{n-2}+...+\beta_{1}A+\beta_{0}I //*A


A^{n+2}=\lambda_{n-1}A^{n-1}+\lambda_{n-2}A^{n-2}+...+\lambda_{1}A+\lambda_{0}I


Teniamos que


\phi(t)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^{k}A^{k}}{k!}


Utilizando los resultados anteriores


\phi(t)= b_{0}(t)I+b_{1}(t)A+b_{2}(t)A^{2}+...+b_{n-1}(t)A^{n-1}


Para calcular b_{0}(t),b_{1}(t),...,b_{n-1}(t) utilizamos el teorema de Sylvester que dice


e^{P_{i}t}=b_{0}(t)+b_{1}(t)P_{i}+b_{2}(t)P_{i}^{2}+...+b_{n-1}(t)P_{i}^{n-1}


donde P_{i} son los eigenvalores


Ejemplo 2

Para q'(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-1&-3\end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}Y(t)

Calcular \phi(t) por medio de Caley-Hamilton


Ecuacion Secular: det\begin{bmatrix}PI-A\end{bmatrix}=0

P^{2}+3P+2=0

P_{1}=-1

P_{2}=-2


\phi(t)=b_{0}(t)I+b_{1}I+b_{1}(t)A


debemos evaluar

e^{P_{i}t}=b_{0}(t)+b_{1}(t)P_{i}


P_{i}=-1:

I) e^{-t}=b_{0}(t)-b_{1}(t)


P_{i}=-2:

II) e^{-2t}=b_{0}(t)-2b_{1}(t)


Restando Ecuaciones \Rightarrow I - II

e^{-t}-e^{-2t}=b_{1}(t)


Sustituyendo b_{1}(t) en I

e^{-t}=b_{0}(t)-e^{-t}+e^{-2t}

b_{0}(t)=2e^{-t}-e^{-2t}


\phi(t)=(2e^{-t}-e^{-2t})I+(e^{-t}-e^{-2t})A

\phi(t)=(2e^{-t}-e^{-2t})\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+(e^{-t}-e^{-2t})\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}


\phi(t)=\begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t}&e^{-t}-e^{-2t}\\-2e^{-t}+2e^{-2t}&-e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}

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