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Teorema de Green

De por WikiMatematica.org


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El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva C cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.

Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.

Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.


Contenido

Teorema de Green

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

\int_{C} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left[\displaystyle\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\displaystyle\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\right]dA

Demostración del Teorema de Green

Notase que el Teorema de Green quedará demostrado si se prueba que
1

\int_{C}Pdx = -\iint_{D} \left[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} \right]dA


y


2

\int_{C}Qdx = \iint_{D} \left[\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \right]dA

Para demostrar la ecuación 1 expresemos D como una región tipo I:


D = \left\{{(x,y)|a\leq x\leq b, g_{1}(x)\leq y \leq g_{2}(x)}\right\}


donde g_{1} y g_{2} son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado derecho de la ecuación 1 como sigue:
3

\iint_{D}\frac{{\partial P}}{{\partial y}}dA = \int_a^b\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\frac{{\partial P}}{{\partial y}}(x,y)dydx = \int_a^b \left[ P(x,g_{2}(x))-P(x,g_{1}(x))\right]dx


donde en el último paso se sigue el teorema fundamental del cálculo.

Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo C como la unión de las cuatro curvas C_{1}, C_{2}, C_{3} y C_{4} como se muestra en la figura. en C_{1} tomamos x como el parámetro y escribimos las ecuaciones para-métricas como x = x y  y = g_{1}(x), a\leq x \leq b. Green1.jpg
Entonces:

\int_{C_{1}}P(x,y)dx = \int_a^b P(x,g_{1}(x))dx


Observe que C_{3} va de derecha a izquierda, pero -C_{3} va de izquierda a derecha, de modo que podemos escribir las ecuaciones para-métricas de -C_{3} como x = x y  y = g_{2}(x), a\leq x \leq b. Por lo tanto:

\int_{C_{3}}P(x,y)dx = -\int_{-C_{3}}P(x,y)dx = - \int_a^b P(x,g_{2}(x))dx


En C_{2} y C_{4}, x es constante, de modo tal que dx = 0 y

\int_{C_{2}}P(x,y)dx = \int_{C_{4}}P(x,y)dx = 0


Por lo tanto,

\int_{C}P(x,y)dx = \int_{C_{1}}P(x,y)dx + \int_{C_{2}}P(x,y)dx + \int_{C_{3}}P(x,y)dx + \int_{C_{4}}P(x,y)dx


= \int_a^b P(x,g_{1}(x))dx - \int_a^b P(x,g_{2}(x))dx


Comparando esta expresión con la de la ecuación 3, vemos que,

\int_{C} P(x,y)dx = \iint_{D} \frac{{\partial P}}{{\partial y}}dA


La ecuación 2 se puede probar en forma muy semejante al expresar D como una región tipo II. Entonces sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el Teorema de Green.

El teorema de Green se cumple aún para regiones S que tengan uno o más hoyos, siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que S quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias.




Ejemplo 1

Utilice el Teorema de Green para evaluar la Integral de Línea a lo largo de la curva dada.

\oint (y+ e^{\sqrt{x}})dx + (2x + \cos y^{2} )dy, donde C es la frontera de la región limitada por la parábola y=x^2,x=y^2

Primero graficamos la región y que deseamos integrar y describimos su dominio.

SCREEH01.jpg D=\left \{  (x,y)/0\leqx\leq1;x^{2}\leqy\leq\sqrt{x} \right \}

Luego se procede a determinar las derivadas parciales.

\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 2, y \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 1

Ahora aplicando el Teorema de Green:

\iint_{D}^{.} (2-1)dA  = \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{x}} dydx = 1/3

Nótese que la integral obtenida por medio del Teorama De Green es mas sencilla.

Ejemplo 2

\oint y^{2}dx + 3xy dy

C: Región semicircular "D" de la parte superior del plano que esta entre los círculos:

    x^{2}+y^{2}=1 y x^{2}+y^{2}=4

Semicir.png

Sacamos las derivadas parciales:

\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 3y, y \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2y

Ahora aplicamos el Teorema de Green:

\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi }3y-2y

\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi } y

Pasamos a polares para mayor facilidad:

\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi }(r sen(\Theta ))r d\Theta  dr = \frac{14}{3}

Ejemplo 3

\oint x^{4}dx + xy dy

Donde C es la curva triangular sobre los puntos

(0,0)\to(1,0) (1,0)\to(0,1) (0,1)\to(0,0)

Curvatriangular.jpg


Sacamos las derivadas parciales

\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = y, y \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 0

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}y dy dx = \frac{1}{6}

Ejemplo 4

\oint (3y-e^{\sen{x}} ) dx + (7x + \sqrt[]{y^{4}+1}) dy

Donde C es la circunferencia de radio 3.

\iint (7 - 3) dA

\iint 4 dA             D= {(r,\theta)   |   0\leq r\leq3  ;     0 \leq \theta\leq 2\pi }

\int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi }4r d \theta dr = 36\pi

Ejemplo 5

Determine el área encerrada por la elipse

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1

A= \iint_D 1 dA

D= \left\{{(x,y) | -a\leq x \leq a; -\sqrt[]{-b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}\leq y \leq \sqrt[]{-b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}}\right\}

\displaystyle\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}- \displaystyle\frac{{\partial P}}{{\partial y}}= 1

Q= \frac{1}{2}X                Q= \frac{-1}{2}Y

C:      x = a \cos{t}       y = a \sin{t}

\int_0^2\pi \frac{1}{2}b \sen{t}^2 a + \frac{1}{2}a \cos{t}^2 b dt\longrightarrow{}\int_c P dx + Q dy

\int_0^2\pi  \frac{1}{2} ab dt = ab  \pi u^2

Ejemplo 6.a

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza sobre una partícula que se mueve en C.

\int_{C} Y^2 dx + X^2 dy


M = Y^2 N = X^2

\left[\displaystyle\frac{{\partial M}}{{\partial Y}} = 2Y \right]


\left[\displaystyle\frac{{\partial N}}{{\partial X}} = 2X \right]

Finalmente, nos quedaría de la siguiente manera:

\iint(2X -2Y)dA

Ejemplo 6.b

C: Triángulo con vértices (0,0), (4,0) ^ (4,4)

Por lógica, y por los puntos que nos dan, la gráfica es "lineal", es decir, Y = X

Nuestros límites de integración y el planteamiento, quedarían de la siguiente manera:


D = \left\{{(x,y)|0\leq x\leq 4, 0\leq y \leq x}\right\}



\iint (2X - 2Y)dA => \iint (2X - 2Y)dYdX => 21.33

Ejemplo 6.c

C:Borde de la región comprendida entre las gráficas de y=\sqrt{x} ; y=\frac{x^2}{4}

0<x<4 ; x<y<\frac{x^2}{4}

\int_{0}^{4}\int_{\frac{x^2}{4}}^{x}2x-2ydydx

=\frac{32}{15}

Ejemplo 7

Usar el teorema de Green para la integral de Linea

\int_{C}^{ }  y^3 dx + (x^3+3xy^2) dy

donde el camino C va de (0,0) a (1,1) a lo largo de la grafica de y=x^3

Solucion: Como  M= y^3 y N=x^3+3xy^2, se tiene \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 3x^2+3y^2 y , \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 3y^2

aplicamos el teorema de Green concluimos que

\int y^3 dx + (x^3+3xy^2) dy = \iint_{R}^{ }    (\frac{{\partial N}}{{\partial x}}-\frac{{\partial M}}{{\partial y}}) dA

\int_{0}^{1} \int_{x^3}^{x} [(3x^2+3y^2)-3y^2]dy dx

\int_{0}^{1} \int_{x^3}^{x} 3x^2dy dx

\int_{0}^{1} 3x^2y]_{x^3}^{x}dx

\int_{0}^{1}(3x^2-3x^5)dx

[\frac{{3x^4}}4 - \frac{{x^6}}2]_{0}^{1}

\frac{{1}}4

Ejemplo 8:

Estando sometida a un campo de fuerzas F(x,y)=y^3i+(x^3+3xy^2)j

una particula da una vuelta completa a un circulo de radio 3 aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por el campo F solucion: Por el ejemplo 7 sabemos que el teorema de Green se sigue

\int y^3 dx + (x^3+3xy^2) dy = \iint_{R}^{ } 3x^2dA

En coordenadas polares, donde x=r cos \theta y dA=r dr\theta, el trabajo se calcula asi:

 w = \int_{R}^{ }\int 3x^2dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} 3(r cos \theta)^2 r dr d \theta

=3\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} r^3 cos^2 \theta dr d \theta

=3\int_{0}^{2\pi} \frac{{r^4}}4 cos^2 \theta]_{0}^{3}d \theta

=3\int_{0}^{2\pi} \frac{{81}}4 cos^2 \theta d \theta

=\frac{{243}}8\int_{0}^{2\pi} (1+cos 2 \theta) d \theta

=\frac{{243}}8 [\theta+\frac{{sen 2 \theta}}2]_{0}^{2\pi}

=\frac{{243\pi}}4

Al calcular integrales de linea sobre curvas cerradas hay que tener presente que el valor de la integral es 0 para todo campo vectorial conservativo. ver el teorema de Green


F(x,y)=y^3i+(x^3+3xy^2)j El trabajo realizado por F cuando una particula da una vuelta al circulo es: =\frac{{243\pi}}4


07-04-2010 12-03-22 p.m..jpg


Ejemplo 9:

Calcular:

\int_{C}^{ } (arctg x +y^2)dx + (e^y-x^2)dy donde c es el camino que encierra la region anular.

Solucion: En cordenadas polares, R viene descrita por 1

Ejemplo 10

Evaluar \int_{c}=y^2 dx + 3xy dy donde C esta dado por el area entre los circulos con ecuaciones x^2+y^2= 1 y x^2+y^2=4

Graficamos las ecuaciones para obtener nuestros limites de integracion. Teorema green ejemplo10.png

con lo que obtenemos D =\{(r,\theta) | 1 \leq r \leq 2, 0 \leq  \theta \leq \pi \}


Entonces por el teorema de Green obtenemos:

\int_{c}=y^2 dx + 3xy dy = \int\int_{D}\left\[\frac{\partial}{\partial_{x}}(3xy)-\frac{\partial}{\partial_{y}}(y2)\right\]

= \int\int_{d}ydA

Dado que estamos utilizando circunferencias utilizamos coordenadas polares usando y=r*sin\theta

Obtenemos

\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}r^2sin\theta dr d\theta = \frac{14}{3}

Ejemplo 11

Evaluar \int_{c}=(x-y) dx + (x+y) dy Donde C es el circulo con centro en el origen y radio 2

C: x^2+y^2=2 ; D =\{(r,\theta) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq  \theta \leq \2pi \}

Entonces por el teorema de Green obtenemos:

\int_{c}=(x-y) dx + (x+y) dy = \int\int_{D}\left\[\frac{\partial}{\partial_{x}}(x+y)-\frac{\partial}{\partial_{y}}(x-y)\right\]


= \int\int_{d}2dA

Evaluamos la integral.

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}2r dr d\theta = 2\pi

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