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Teorema de Rolle

De por WikiMatematica.org

Contenido

Teorema de Rolle

Sea f una función que satisface las siguientes tres hipótesis:

1. f es continua en el intervalo cerrado  [a,b].

2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b) .

3. f(a) = f(b)

En tal caso hay un número c  en (a,b)  tal que f'(c) = c .

Breve Historia

El teorema de Rolle, llamada así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), quien publicó por primera vez el teorema de Rolle en un libro titulado "Méthode pour résoudre les égalitéz" en 1691. Sin embargo, tiempo después, se volvió un fuerte crítico de los métodos de su época y atacó de manera directa al cálculo. Su teorema decía lo siguiente: si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f.

Objetivo

Establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.

Teorema

Sea f continua en el intervalo cerrado \left [ a,b \right ] y derivable en el intervalo abierto \left ( a,b \right ). Si

f(a)=f(b)

existe al menos un número c en \left ( a,b \right ) tal que f'(c)=0

Demostración

Hay tres casos:

CASO I

f(x) = k , una constante, entonces f'(x)= 0 asi que c puede ser cualquier numero entre (a,b).

CASO II

f(x) > f(a) para cualquier x en (a,b). De acuerdo con el teorema del valor extremo,f tiene un valor maximo en algun lugar de [a,b], dado que f(a) = f(b) debe alcanzar el valor maximo en un numero c en intervalo abierto (a,b).Entonces f tiene un maximo local en c, f es derivable en c. Por teorema de fermat f'(c)=0.


CASO III

f(x) < f(a) para alguna x en (a,b) De acuerdo con el teorema del valor extremo,f tiene un valor minimo en algun lugar de [a,b], dado que f(a) = f(b) debe alcanzar el valor minimo en un numero c en (a,b). Por teorema de fermat f'(c)=0.


Ejemplo 1

Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].

Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en todo punto.

Pizza rolle.gif

la derivada de esta función es:  {f}'(x)=2x

lo que nos conduce a obtener la posición en la que  f'(x)=0.

 {f}'(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.

El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.

Ejemplo 2

Sea f(x) = x^4 - 2x^2
Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que  f’(c) = 0.
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8
f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.
Por lo tanto:

f(-2) = f(2) = 8.

f’(x) = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) = 4x(x + 1)(x - 1)

Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

Ejemplo # 1

Sea:

    f(x) = 4x^3 -9x

Verifique que las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle se satisfacen para cada uno de los intervalos siguientes: [-\frac{3}2,0] y [\frac{3}2,\frac{3}2]. Después haga una elección adecuada para C en cada uno de estos intervalos, de modo que F(c) = 0.

Solucion

Al diferenciar f se tiene:

   F(x) = 12x^2 - 9

Como F(x) existe para todos los valores de x,f es diferenciable en el intervalo (-\infty, + \infty)} y por tanto, continua en el intervalo (-\infty, + \infty) Así, las condiciones 1 y 2 del teorema de Rolle se cumplen en cualquier intervalo. A fin de terminar los intervalos en los que se cumple la condición 3, se obtienen los valores de x para los cuales f(x)= 0. Si f(x) = 0 entonces 4x(x^2 - \frac{9}4) = 0

   x_1 = -\frac{3}2      x_2 = 0     x_3 = \frac{3}2

Con a = - \frac{3}2 y b = 0, el teorema de Rolle se cumple en [-\frac{3}2,0]. De manera semejante, el teorema de Rolle se cumple en [0, \frac{3}2] y [- \frac{3}2 , \frac{3}2].

Con el fin de determinar valores adecuados para c, considere F(x) = 0, de donde se obtiene

12x^2 - 9 = 0

  x_1 = -\frac{1}2 \sqrt{3}         x_2 = \frac{1}2 \sqrt{3}

Por tanto, en el intervalo [-\frac{3}2 , 0], una elección adecuada para c es -\frac{1}2\sqrt{3}. En el intervalo [0, \frac{3}2] se toma c = \frac{1}2\sqrt{3}. En el intervalo [-\frac{3}2, \frac{3}2] existen dos valores posibles para c: - \frac{1}2\sqrt{3} o \frac{1}2\sqrt{3}.

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