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Teorema de Stokes

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/psRKyyHVe_8

El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes .Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, esta acotada por una curva frontera C suave a segmentos cerrada y simple cuya orientacion es positiva.

El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S,

En pocas palabras el teorema de Stokes en una definición física se utiliza para convertir una integral de curva a una integral de superficie.

Teorema Stokes.JPG



Sea F un campo vectorial cuyas componentes tengan derivadas parciales continuas sobre una region abierta de r^3 que contiene a S encones el integral.
\int_cF \cdot dr = \int\int_s rot(F)\cdot dS

\int_cF \cdot r'dr =\int F \cdot dr

\int\int_srot(F) \cdot dS = \int\int_srot(F)\cdot dS

Ejemplo 1

Evalue el \int_cF \cdot dr donde \vec{F}=-y^{2}\widehat{i}+x\widehat{j}+z^{2}\widehat{k} donde C es la curva de la interceccion del plano y+z=2 con el cilindro y^{2}+z^{2}=1 orientado en sentido contrario a las manesillas del reloj cuando se ve desde arriba.


Solución

Primero se calcula el rot F


rot{\bf F} = \begin{vmatrix}
{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ 
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 
-y^{2} & x & z^{2}
\end{vmatrix} = (1 + 2y){\bf k}

A pesar de que son muchas las supercifies que tiene a C como frontera, lo más cómodo es considerar la region elíptica S del plano y+z=2 que está limitado por C. Si orienta mos S hacia arriba, entonces inducimos en C una orientación positiva. La proyección D de S sobre el plano xy es el disco x^{2}+y^{2} \leq 1 .

\int_cF \cdot dr = \iint_{S}^{} rrot \, \textbf{F} \, \cdot dS = \iint_{D}^{}.(1 + 2y) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 + 2r \sin \theta)r \, dr\, d\theta

= \int_{0}^{2\pi} [\frac{r^{2}}{2} + 2 \frac{r^{3}}{3} \sin \theta]_{0}^{1} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} (\frac{1}{2}+ \frac{2}{3} \sin \theta) \, d\theta

=\frac{1}{2}(2\pi) + 0 = \pi

Ejemplo 2

Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral \iint_{S} rot F \cdot dS donde F(x,y,z)= yzi+ xzj+ xyk y S es la parte de la esfera x^2+y^2+z^2=4 que se encuentra dentro del cilindro x^2+y^2=1 y arriba del plano xy.


Solución Para hallar la curva frontera C resolvemos las ecuaciones x^2+y^2+z^2=4 y x^2+y^2=1. Restando, obtenemos z^2=3 y por tanto z=\sqrt 3. Asi C es el circulo dado por las ecuaciones x^2+y^2=1, z=\sqrt 3. La ecuacion vectorial de C es: r(t)=\cos(t) i+\sin(t)j +\sqrt3 k, 0\leqt\leq2\pi por lo cual: r'(t)=-\sin(t) i+\cos(t)j Del mismo modo, tenemos: F(r(t))=\sqrt3\sin(t) i+\sqrt3\cos(t)j +\cos(t)\sin(t) k En consecuencia, por el teorema de Stokes: \iint_{S}rot F \cdot dS=\int_{C}F \cdot dr= \int_{0}^{2\pi}F(r(t))\cdot r'(t)dt

                           =\int_{0}^{2\pi}(-\sqrt3 \sin^2(t)+\sqrt3 \cos^2(t))dt
                           =\sqrt3\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)dt=0

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