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Teorema de los residuos

De por WikiMatematica.org

Una función analítica f(z) cuya serie de Laurent este definida por

f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{a_n(z-z_0)^n}

puede ser integrada termino a termino utilizando una curva cerrada alrededor de z_0

\int_y {f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{a_n}\int_y (z-z_0)^n dz

= \sum_{n=-\infty}^2 a_n \int_y (z-z_0)^n dz + a_{-1} \int_y \frac{dz}{z-z_0} +\sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_y (z-z_0)^n dz

El teorema de la integral de Cauchy requiere que eliminemos los primeros términos por lo que nos queda

\int_y f(z)dz=a_{-1}\int_y \frac{dz}{z-z_0}

donde a_{-1} es el residuo complejo. Utilizando el contorno z=y(t)=e^{it}+z_0 obtenemos

\int_y \frac{dz}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}dt}{e^{it}}=2\pi i

por lo que nos queda

\int_y f(z)dz=2\pi ia_{-1}

Si el contorno y encierra múltiples polos, entonces el teorema nos da el resultado general

\int_y f(z)dz=2\pi i\sum_{a\in A} {Res}_{z=a_j}f(z)

donde A es el juego de polo contenidos dentro del contorno. Lo interesante de este teorema es que nos dice que para cualquier integral de contorno para cualquier contorno en el plano complejo depende únicamente de las propiedades de unos puntos especiales dentro del contorno.

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