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Teorema del Binomio

De por WikiMatematica.org




Un binomio Es la suma algebraica de 2 términos. Dicho binomio se puede expresar de la forma siguiente:

a+b, donde a y b representan números. Si n es un entero positivo, entonces está dada una fórmula general para expandir (a+b)^n .

Contenido

Definición del Teorema del Binomio

(a + b)^{n} = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} a^{n-i}b^{i}

Cuando utilizamos un número entero positivo lo podemos indicar de esta forma.

(a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}.

Si queremos el k-ésimo término de la serie lo podemos obtener:

(a + b)^{k} = \binom{n}{k-1} a^{n-(k-1)}b^{k-1}

Donde

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Ejemplo #1

Resuelva la siguiente expresión utilizando el teorema del binomio

(5x^3 + 2y^2)^5

a=5x^3 , b=2y^2 , n=5


(5x^3 + 2y^2)^5= \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(5x^3)^{5-k}(2y^2)^{k}

Procedimiento:

=\binom{5}{0}(5x^3)^{5-0}(2y^2)^{0}+\binom{5}{1}(5x^3)^{5-1}(2y^2)^{1}+\binom{5}{2}(5x^3)^{5-2}(2y^2)^{2}+\binom{5}{3}(5x^3)^{5-3}(2y^2)^{3}+\binom{5}{4}(5x^3)^{5-4}(2y^2)^{4}+\binom{5}{5}(5x^3)^{5-5}(2y^2)^{5}

=1(5x^3)^{5}+5(5x^3)^{4}(2y^2)^{1}+10(5x^3)^{3}(2y^2)^{2}+10(5x^3)^{2}(2y^2)^{3}+5(5x^3)^{1}(2y^2)^{4}+1(2y^2)^{5}

El Binomio ya expandido o resuelto quedaría de la siguiente manera:

=3125x^{15}+6250x^{12}y^{2}+5000x^{9}y^{4}+2000x^{6}y^{6}+400x^{3}y^{8}+32y^{10}

Ejemplo #2

Encontrar el septimo término de (x^{3}-2)^{9}
tenemos que:
n=9
k=7
sustituyendo.
(x^{3}-2)^{7}=\binom{9}{6} (x^{3})^{3}(-2)^{6}
resolvemos.
= 84x^{9}*64

=5376x^{9}

Ejemplo #3

desarrollar utilizando el teorema del binomio (2x -1)^5

a = 2x

b = -1

definición:

(2x - 1)^5= \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-1)^{k}

procedimiento a realizar:

=\binom{5}{0}(2x)^{5-0}(-1)^{0}+\binom{5}{1}(2x)^{5-1}(-1)^{1}+\binom{5}{2}(2x)^{5-2}(-1)^{2}+\binom{5}{3}(2x)^{5-3}(-1)^{3}+\binom{5}{4}(2x)^{5-4}(-1)^{4}+\binom{5}{5}(2x)^{5-5}(-1)^{5}

ahora aplicamos el factorial:



=1(2x)^{5}-5(2x)^{4}(-1)^{1}+10(2x)^{3}(-1)^{2}-10(2x)^{2}(-1)^{3}+5(2x)^{1}(-1)^{4}-1(-1)^{5}

luego operando el resultado anterior obtenemos:

=32x^{5}-80x^{4}+80x^{3}+40x^{2}+10x+1

Ejemplo #4

Encontrar el séptimo término de (3 -x)^{10}


procedimiento a seguir aplicando la ecuación de factorial:

\binom{10}{7}(3)^{10-7}(x)^{7}



sacamos el factorial:

\binom{10}{7}=\frac{1*2*3*4*5*6*7*8*9*10}{1*2*3*4*5*6*7(1*2*3)}

= \frac{120}{6}

= 120

ahora sustituimos el resultado del factorial y operamos normalmente de la siguiente forma:

= 120 (27 -x^{7})

el octavo término es:

= - 3240x^{7}


Triángulo de Pascal

Cada número del interior del esquema es la suma de los dos números que se hallan directamente arriba de el.

Pascal.JPG


El conjunto de números que constituyen el triángulo de pascal puede ser infinito. La aplicación principal del triángulo de Pascal es para el cálculo del binomio de Newton. Cada uno de los niveles del triángulo nos indica el grado de un polinomio, también nos indica cuáles son los coeficientes para el polinomio de cada grado.

Ejemplo #1

(a+b)^3 = a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3


Entonces al verificar los niveles del triángulo vemos que el primer "1" constituye el grado 0, es decir solo constantes. Luego la siguiente fila, representa el grado 1, la siguiente grado 2 y la siguiente grado 3, etc.

Ejemplo #2

(a+b)^4 = a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4


Si vemos la fila que corresponde al polinomio de grado 4 veremos que realmente coinciden los coeficientes.

Para calcular un Binomio de Newton estilo {n \choose k} podemos hacer de forma sencilla:

   {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

   (3) {(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

   {r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

   \frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto $| \frac{x}{y} |$ sea menor a uno.]

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El Binomio De Newton


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