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Teorema del valor medio

De por WikiMatematica.org

Contenido

Teorema

f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)

Sea f una función que cumple con las hipótesis siguientes:

1. Si f es continua en el intervalo cerrado    [a,b] .

2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Por lo tanto hay un número c en (a,b) tal que

1. f'(c) =  \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

o en forma equivalente

2.  f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)


Teoremame.png

Historia

Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange fue un matemático y físico Italiano que formuló por primera vez el teorema del valor medio. Nació en Italia pero debido a que su padres eran franceses se mudó a Francia posteriormente. Fue un niño prodigio, desde muy pequeño mostraba unas grandes cualidades que lo diferenciaban del grupo. Se convirtió en Profesor en Turín a la temprana edad de 19 años. Lagrange hizo grandes contribuciones a la matemática, como por ejemplo: la teoría de los números, la teoría de las funciones, la teoría de las ecuaciones entre otras. De igual forma contribuyó al campo de la física con su mecánica celeste y mecánica analítica. Especialmente aplicó el cálculo al análisis de la estabilidad del sistema solar. Por invitación de Federico el Grande, Lagrange se convirtió en el sucesor de otro gran matemático de la historia "Euler" en la academia de Berlín lo cual significó un gran orgullo para el. A pesar de todo el éxito que obtuvo y de todas las riquezas que poseía, Lagrange siempre fue un hombre bondadoso y tranquilo , aunque solo vivió para la ciencia, sin tener otra prioridad.

El teorema del valor medio es un ejemplo de lo que se llama el teorema de la existencia. Al igual que el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle, garantizan en la mayoría de casos que existe un número con cierta propiedad que lo hace único, pero nos dice de igual forma como determinar dicho número.

Demostración

Aplicaremos en teorema de Rolle a una nueva funcion h.

y-f(a) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
h(x)= f(x) - f(a)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

Comprobamos que h(x) cumple con Rolle:

1.h(x) es continua en [a,b] por ser la suma de f y por ser un polinomio de grado 1.
2. h(x) es derivable en [a,b]


h'(x)= f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
3.
h(a) = f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)= 0
h(b) = f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)
 = f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)=0]
h(a) = h(b)

Dado que h cumple con Rolle según el teorema hay un numero c, en (a,b), h'(x)=0
por lo tanto:

0= h'(c)=f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} y asi
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Ejemplos

Ejemplo 1

Supongamos que f(0)=-3 y que f'(x) \leq  5 para todos los valores de x. Que tan grande puede ser f(2)


f(2)-f(0)= f'(c)(2-0)
f(2)= f(0)+ 2f'(c) = -3 + 2f'(c)


Si f'(x) \leq 5 para toda x sabemos que f'(c) \leq 5, multiplicamos por 2 la desigualdad


f(2) = -3 + 2f'(c) \leq -3 + 10 = 7

El maximo valor posible de f(2) es 7


Ejemplo 2

Considere el siguiente polinomio :f(x)= x^3 - x , a= 0, b = 0. Puesto que f es un polinomio, es continuo y es derivable para toda x, por lo que es ciertamente continuo en [ 0 , 2] y derivable en (0,2). Por lo tanto de acuerdo con el teorema del valor medio, hay un número c en(0,2) tal que :

f(2)- f(0) = f'(c) ( 2 -0)

Ahora , f(2) = 6, f(0) = 0 y f'(x) = 3x^2 - 1 , de modo tal que esta ecuación se vuelve de la siguiente manera:

6 = ( 3c^2 - 1)2 = 6c^2 - 2

Lo cual da c^2 = 4/3 es decir,c = +-  2{\sqrt{3}, de modo que :


c = \frac{2}{\sqrt{3}}


Ejemplo 3

Sea:

f(x) = x^3-x^2-2x

Verifique que se satisfacen las hipotesis del teorema del valor medio para a= 1 y b = 3. Despues determine un numero c en el intervalo abierto(1,3) tal que:

F(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1}

Apoye la eleccion de c graficamente trazando en el mismo rectangulo de inspeccion la grafica de f, la recta tangente en el punto donde x= c y la recta secante que pasa por los puntos (1,f(1)) y (3,f(3)).

Solucion Como f es una funcion polinomial, f es una funcion continua y diferenciable en cualquier numero.Entonces se satisfacen las hipotesis del teorema del valor medio, ya sea para a y b. Al diferenciar f se tiene F(x) = 3x^2 -2x -2

Y si f(1) = -2 y f(3) = 12 \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{12-(-2)}{2} Lo cual es igual a 7

Si consideramos F(c) = 7 se obtiene

3c^2 -2c -2 = 7

3c^2- 2c- 9 = 0

c = \frac{-(-2) +- \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-9)}}{2(3)}

c = \frac{2+\sqrt{112}}{6} = 2.10 c = \frac{2- \sqrt{112}}{6} = -1.43

Debido a que -1.43 no esta en el intervalo abierto (1,3), el unico valor posible para c es 2.10.


Ejemplo 4

Sea:

f(x) = x^\frac{2}{3}

trace la grafica de f. Muestre analiticamente que no existe ningún número c en el intervalo abierto (-2,2) tal que

F(c) = \frac{f(2) - f(-2)}{2-(-2)}

¿Qué condición de la hipótesis del teorema del valor medio no cumple f cuando a = -2 y b = 2?

Solucion La gráfica de f trazada en el rectángulo de inspección de [-3,3] por [-1,3] se muestra en esta figura. Grafica2.jpg

Al diferenciar f se tiene

F(x) = \frac{2}{3}x^\frac{-1}{3}

De modo que

F(x) = \frac{2}{3c^\frac{1}{3}}

Además,

\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \frac{4^\frac{1}{3} - 4^\frac{1}{3}}{4} = 0

No existe ningún numero c para el cual \frac{2}{3c^\frac{1}{3}} = 0.

La función f es continua en el intervalo cerrado [-2,2]; no obstante, f no es diferenciable en el intervalo abierto (-2,2) por que F(0) no existe. Por tanto, la condición 2 del teorema del valor medio no es satisfecha por f cuando a = -2 y b = 2.

Ejemplo 5

Utilice el teorema del valor medio para demostrar que si x > 0, entonces Sen(x) < x Solucion Si x > 1, entonces como Sen(x) <= 1, Sen(x) es en verdad menor que x. Considere entonces que 0 < x <= 1 y sea

f(x) = x - Sen(x)

entonces

F(x) = 1 - Cos(x)

Como f es continua y diferenciable en cualquier número, se concluye, por el teorema del valor medio con a = 0 y b = x, que existe algún número c para el cual 0 < c < x <= 1, tal que

F(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

Debido a que f(0) = 0 y F(c) = 1 - Cos(c), de la ecuacion anterior se tiene

x(1 - Cos(c)) = f(x) para 0 < c < 1

En el miembro izquierdo de esta ecuación los dos factores son positivos. De modo que

0 < f(x)

0 < x - Sen(x)

Sen(x) < x

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