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Teorema del valor medio para cálculo integral, por WikiMatematica.org
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Teorema del valor medio para cálculo integral

De por WikiMatematica.org

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Contenido

Teorema

Sea \[f\] una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. \[f\] es continua en el intervalo cerrado [a,b] 2. \[f\] es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)

Entonces, hay un número c en (a,b), tal que

(1) \[{f}'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

o bien, lo que es lo mismo,

(2) \[f(b)-f(a)={f}'(c)(b-a)\]

Demostración

\[y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]

\[y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]

\[h(x)-f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]

\[{h}'(x)-{f}'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\[h(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(a)-f(a)}{b-a}(a-a)=0\]

\[h(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)\]

\[=f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)]=0\]

Por lo tanto

\[h(a)=h(b)\] y existe un numero c en (a,b) tal que \[{h}'(c)=0\]

\[0={h}'(c)={f}'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\[{f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Ejemplos

Ejemplo # 1

Se puede aplicar el teorema del valor medio a f(x)=4x^{2}+5x+1 en [0,2]

si f(x) es continua en [0,2] y derivable en (-1,2) por lo tanto podemos aplicar el teorema

\frac{7-1}{2-0}=f^{'}(x)

f^{'}(x)=3

8x-5=3

por lo tanto x=\frac{5+3}{8}

x=\frac{8}{8}

x=1

Ejemplo # 2

En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.

Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x^{2} + bx + c.

\left\{\begin{matrix}
1= &1 &+ b +&c \\ 
0= &9 &+ 3b +& c
\end{matrix}\right.

b=\frac{-9}{2}....c=\frac{9}{2}

y=x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}

Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

f^{x}=2x-\frac{9}{2}

\frac{9-\frac{27}{2}+\frac{9}{2}-1+\frac{9}{2}-\frac{9}{2}}{2}=2x-\frac{9}{2}

\frac{-1}{2}=2x-\frac{9}{2}

x=2

f(x)=4-9+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}

\begin{pmatrix}
1,\frac{-1}{2}
\end{pmatrix}

Ejemplo # 3

Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x^{3} − x^{2} + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

hallamos la ecuacion de la recta.

\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-2}{20-2}

9x-9=y-2

y=9x-7

Por ser y = x^{3} − x^{2} + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:

f^{'}(x)=\frac{20-2}{3-1}=9

3x^{2}-2x=9

3x^{2}-2x-9=0

x=\frac{2+\sqrt{112}}{2}\epsilon (1,3)

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