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Teorema fundamental del cálculo

De por WikiMatematica.org


Figura 1. Derivación
Figura 1. Integración

Cuando uno llega por primera vez al inicio de este teorema ya a intuido una relación entre el calculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya que como el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay una relación muy intima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre del teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas.

Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos la aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente $\frac{\Delta y }{\Delta x}$ (Pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de un región bajo una curva, usamos el producto $\Delta y \Delta x$ (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integración son operaciones inversas ( División y Multiplicación). El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.

Contenido

El Teorema Fundamental del Cálculo

Si $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y $F$ es una primitiva de $f$ en $[a,b]$, entonces $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$


Demostración Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte

Si f es continua en [a,b], la función F esta definida por:

F(x)=\int_{a}^{b} f(x)dx\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a\leq x\leq b

es continua en

[a,b]

y derivable en:

(a,b)

y

F'(x)=f(x)

DEMOSTRACIÓN

Si x y x+h están en (a,b), entonces:

F(x+h)-F(x)=\int_{a}^{x+h} f(x)dx - \int_{a}^{x} f(x)dx
= \left (\int_{a}^{x}f(x)dx+\int_{a}^{x+h}f(x)dx  \right )-\int_{a}^{x}f(x)dx\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (segun \, propiedad\,  5 \, de\,  Integrales)

Ecuación 2

= \int_{x}^{x+h}f(x)dx

y así, cuando h\neq 0,

\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)dx

suponemos que

h>0,


Dado f es continua

[x,x+h]


Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, u y v en [x,x+h], tales que f(u)=m y f(v)=M, en donde m y M son los valores mínimo y máximo absolutos de f en [x,x+h].

De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

mh\leq \int_{x}^{x+h} f(x)dx\leq Mh

es decir,

f(u)h\leq \int_{x}^{x+h} f(x)dx\leq f(v)h

como h>0, podemos dividir esta desigualdad entre h:

f(u)\leq \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(x)dx \leq f(v)

Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior obtendremos:

Ecuación 3

f(u) \leq \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\leq f(v)

Ahora hacemos que

h\rightarrow 0.

Entonces:

u\rightarrow x y v\rightarrow x

.

Como u y v existen entre x y x+h, decimos que:

\lim_{h \to 0} f(u)=\lim_{u \to x} f(u)=f(x)\,  y\,  \lim_{h \to 0} f(v)=\lim_{v \to x} f(v)=f(x)

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremos y medios llegamos a la conclusión de que:

Ecuación 4

F'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)

Si x=a \, o\,  b, podemos decir que es un limite unilateral. Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a, modificado para limites unilaterales podemos decir que F es continua en [a,b]

Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Calculo, 1era Parte de la forma:

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{a}^{x}f(x)dx=f(x).

Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte

Si f es continua en [a,b], entonces:

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

en donde F es cualquier antiderivada de f, esto es, F'=f.

Sea g(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx

Sabemos que g'(x)=f(x)

Si F es cualquier antiderivada de f en [a,b], donde F y g difieren en una constante.

Decimos que :

F(x)= g(x) + c\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a\leq x\leq b











Ejemplos

Ejemplo 1

Determine

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{1}^{x^4}sec(x)dx

SOLUCION
Utilizando la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo parte 1, donde u=x^4.

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{1}^{x^4}sec(x)dx=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{1}^{u}sec(x)dx

=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}\left [\int_{1}^{u}sec(x)dx  \right ]\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (segun \, la \, regla\,  de \, la\,  cadena)

=sec(u)\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (segun \, Teorema \, Fundamental\,  del \, Calculo\, Primera \, Parte)

=sec(x^4)*4x^3

Ejemplo 2

Evalúe la Integral

\int_{1}^{3}e^xdx

SOLUCION
La f(x)=e^x, es continua en todos los números y que una antiderivada es F'(x)=e^x, entonces utilizando el Teorema Fundamental del Calculo Segunda Parte nos queda:

\int_{1}^{3}e^xdx=F(3)-F(1)=e^3-e

Podemos Usar la Notación:

F(x)\mid _{a}^{b}\textrm{}=F(b)-F(a)

De modo que puede escribirse como:

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)\mid _{a}^{b}\textrm{}

DONDE,

F'=f.

Ejemplo 3

Calcular el Area bajo la siguiente parabola y=x^2\, \, \, \, \, \, \, \, Intervalo (0,1).

SOLUCION
f(x)=x^2\, \,\rightarrow  \, \, \, \, \, \,\int_{}^{}f(x)dx = F'(x)=\frac{1}{3}x^3
A=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3= \frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(0)=\frac{1}{3}
Debido al uso del teorema fundamental del calculo segunda parte concluimos que el Area bajo la parabola es \frac{1}{3}.

Ejemplo 4

Evaluar \int_{3}^{6}\frac{dx}{x}.

SOLUCION
La integral a evaluar es una abreviación de:
\int_{3}^{6}\frac{1}{x}dx
La antiderivada de f(x)= \frac{1}{x} es F(x)=ln|x|
\int_{3}^{6}\frac{1}{x}dx=ln\, x|_{3}^{6}= ln\, \,  6 -ln\, \,  3

ln\, \frac{6}{3}=ln\, \,  2

--Wilson Aguirre 01:29 31 jul 2009 (UTC)

Ejemplo 5

Evaluar \int_{0}^{1} (3+x\sqrt{x} dx
Solución
\int_{0}^{1} (3+x(x)^{1/2}=\int_{0}^{1} 3dx+ \int_{0}^{1}x^{3/2}
aplicamos el teorema.
\int 3 dx = 3x |_{0}^{1} \wedge \int x^{3/2} dx =  \frac {2}{5} x^{\frac{5}{2}}|_{0}^{1}
 \int_{0}^{1} (3+x\sqrt{x} dx = \frac{13}{5}
--Jorgetr 20:00 8 sep 2009 (CST)

Ejemplo 6


Evaluar \int_{\Pi}^{2\Pi} cos (x) dx
aplicamos el teorema.
\int cos (x) dx =  sen(x) |_{\Pi}^{2\Pi}
 \int_{\Pi}^{2\Pi} cos (x) dx = 0
--Jorgetr 22:09 8 sep 2009 (CST)

Ejemplo 7

Evaluar

\int_{0}^{2}2-x^2dx


integramos la función de tal manera que nos queda: =2x-\frac{1}{3}x^3|_{0}^{2} y lo evaluamos en esos intervalos 0 y 2 aplicando el teorema fundamental del cálculo nos queda asi:

=2(2)-\frac{1}{3}(2)^3-[{2(0)-\frac{1}{3}(0)^3}] lo operamos y nos queda:

=4-\frac{1}{3}(8)-0

y la respuesta es:


=-\frac{4}{3}

--Hersonjmc 17:43 30 sep 2009 (CST)Herson Marroquin

Ejemplo 8

Evaluar

\int_{0}^{1}e^x-xdx

integramos: =e^x-\frac{1}{2}x^2|_{0}^{1}

aplicamos el teorema fundamental del calculo y llegamos a:

=e^1-\frac{1}{2}(1)^2-[0]

operamos y la respuesta es :

=1.22 unidades cuadradas

--Hersonjmc 18:02 30 sep 2009 (CST)Herson Marroquin


Ejemplo 9

\int_{0}^{2}xdx

=\frac{x^2}{2}|_{1}^{2}

aplicando el teorema fundamental del cálculo:

=\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}

=\frac{3}{2}


Aplicación


Ejemplo # 1

1. Una piscina se vacía a una velocidad que viene dada por la función v(t)= \frac {1}{6} + 4t , expresada en m3/min. Calcula los ::metros cúbicos de agua que han salido de la piscina entre el minuto 8 y el minuto 20.

\int^{20}_{8} v(t)dt = \int^{20}_{8} ( \frac {1}{6} + 4t ) dt
 = \frac {t^3}{18} + 2t^2
 = ( \frac {800}{18} + 800 )-( \frac {512}{18} + 128 )
 = 1088m^3


Ejemplo # 2

2. Un grifo llena de agua un depósito a una velocidad que viene dada por la función \frac {10}{(x+1)^2} , donde x se mide en segundos y f(x) en litros/segundo.

a) Calcula los litros de agua que habrá en el depósito después de 10 s.
 \int^{10}_{0} \frac{10}{(x+1)^2} dx
= -\frac{10}{(x+1)} dx
=  \frac{100}{(11)}litros.
b) Si el depósito tuviese una capacidad de 9 litros, ¿cuanto tiempo tardaría en llenarse?
 \int^{t}_{0} \frac{10}{(x+1)^2} dx
= -\frac{10}{(x+1)} dx
=  \frac{10t}{t+1}
=  9 =>  t=9 s

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