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Trabajo, por WikiMatematica.org
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Trabajo

De por WikiMatematica.org

Contenido

Trabajo mecánico

FUERZA CONSTANTE: El trabajo W que realiza una fuerza constante F a lo largo de un espacio s, en línea recta, es F*s unidades.

En pocas palabras, el trabajo es cuando se la aplica una fuerza a un objeto y esta misma recorre una distancia o desplazamiento. El trabajo se mide en Joules.

Es importante saber que todas las fuerzas que estan perpendicular a la superficie de un objeto, no realizan trabajo.

Si existe una inclinación y se quiere calcular el trabajo sobre el objeto ubicado en una superficie inclinada entonces el trabajo se calcula de la siguiente manera:

W=Fcosα*L

Donde

F es la fuerza

α es el angulo de inclinaciión

L es la distancia que el objeto recorre


FUERZA VARIABLE: Para hallar el trabajo realizado por una fuerza que varía constantemete a lo largo de un espacio rectilíneo, que se desplaza desde x=a hasta x=b,


¿Cómo se calcula W cuando la fuerza es variable?

A través de una integral.


Para encontrar el trabajo necesario para mover un objeto desde un punto a hasta un punto b:

  • Dividir el intervalo [a,b] en n subintervalos de ancho \Delta x
  • Elegimos un punto muestra x_i^* en el i-ésimo subintervalo [x_{i-1},x_i]


W_i=f(x_i^*)\Delta x

W_i=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x

W=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x

W=\int_{a}^{b}f(x)dx

Ejemplo 1

Sabiendo que distancia=x y f(x)=x^2+2xdx

¿Cuánto trabajo hay desde x=1 hasta x=3?

W=\int_{1}^{3}x^2+2xdx

W=[\frac{1}{3}x^3+x^2]|_{1}^{3}

W=\frac{50}{3}J

Ejemplo 2

Ley de Hooke

F(x)=kx


Para estirar un pequeño resorte de su longitud natural de 6cm a una de 8cm, se necesita una fuerza de 9N.

Calcular el trabajo realizado al estirar el resorte:

a) De su longitud natural a una de 10cm.

b) De una longitud de 7cm a una de 9cm.


a)

x=(0.08-0.06)

x=0.02


F=kx

9=k(0.02)

k=450


W=\int_{0.06}^{0.1}450xdx

W=[\frac{45}{2}x^2]|_{0.06}^{0.1}

W=\frac{36}{25}J


b)

W=\int_{0.07}^{0.09}450xdx

W=[\frac{45}{2}x^2]|_{0.07}^{0.09}

W=\frac{18}{25}J


Ejemplo 3

Ley de Hooke

F(x)=kx

Un resorte pequeño se estira de su longitud natural de 5 cm con una fuerza de 40N. ¿Cuanto trabajo se necesita para estirar el resorte 8cm de su longitud natural?


F=Kx

F=40N

40N = k(0.05 m)

k =\frac{40}{0.05}\frac{N}{m}

k = 800\frac{N}{m}

Recordamos:

W =\int_{a}^{b}kndn

Solucion:

W =\int_{0.05}^{0.08} 800x dx

W = \left [400x^2\right ]_{0.05}^{0.08}

W = 400(0.08)^2 - 400(0.05)^2

W = \frac{39}{25}J

--Dieguito 22:39 30 sep 2009 (CST)


Ejemplo 4

Un tanque de forma de cono circular invertido con altura de 10m. y radio de base de 4m. se llena con agua hasta una altura de 8 cm. Encuentre el trabajo requerido para vaciarlo bombeando toda el agua hacia la parte superior del mismo..

(Densidad del agua 1000Kg/m^3 )

Conotrabajo.JPG

Partimos de nuestra definicion de trabajo:  W =\int_{a}^{b}f(x)dx

-vamos a partir el agua en discos imaginarios de ancho Xi

-La fuerza para move uno de estos discos esta dada por:  f(X) = mi*g

-sabemos que la masa del uno de estos discos esta dada asi:  mi = \delta * Vi

-El volumen de uno de estos discos esta dado por: Vi =  \pi (ri)^2 dx

-y el radio en cualquier disco esta dado por y r = Y

-para poder expresar el radio en terminos de x encontramos la pendiente y la despejamos de la ecuacion punto pendiente 
Y-Yo = m(X-Xo)

con m =  - \frac 2 5 y el punto (0,4) ri =  - \frac 2 5 Xi + 4

-sustituyendo en nuestra definicion de trabajo...

Vi =  \pi r^2 dx  ----->  \pi(- \frac 2 5 Xi + 4)^2 dx

mi =  \delta*Vi ----->  1000\pi(- \frac 2 5 Xi + 4)^2 dx

 f(x) = mi*g  ------>  9800\pi(- \frac 2 5 Xi + 4)^2 dx

 W = \int_{2}^{10} 9800\pi(- \frac2 5 Xi + 4)^2 dx

 W = 9800\pi \int_{2}^{10} {\frac{4}{25}} x^2 - \frac{16}{5} x + 16)^2 dx

 W = 3.36x10^6 Joules

Ejemplo 5

Una cadena de 20 pies. (5lb/pies) yace en el suelo, encuentre el trabajo para extenderla totalmente
\Delta W = 5 \Delta y\\
y = 5 \\
5 \int_0^\infty ydy =  \left |{\frac{5}{2}y^2}\right|\\
=  1000lb-pies


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