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Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier

De por WikiMatematica.org

La Transformada de Fourier es una aplicación lineal esta definida y goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.  F(\omega) de una función  f(t) se define mediante una integral,a esta integral se le llama integral de contorno. El hecho es que las transformadas integrales aparecen en pares de transformadas. si  f(t) se transforma en  F(\omega) mediante una transformada integral F(\omega) = \int_{a}^{b} f(t)K(\omega,t)dt, entonces se puede recuperar la función  f(t) mediante otra transformada integral, f(t) = \int_{c}^{d} F(\omega)H(\omega,t)d\omega, llamada transformada inversa. A las funciones  K(\omega,t) y  H(\omega,t) se les llama núcleos de sus transformadas respectivas. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos.

se F(x) una función definida en -∞ a ∞ entonces su transformada de Fourier no es mas que el coeficiente cw de la integral de Fourier en forma compeleja para F(x)

Contenido

Definición formal

Sea f una función Lebesgue integrable:


f \epsilon L^1(R) o f \epsilon L^1(C)


La transformada de Fourier de f es la función

\mathfrak{F}\left\{t}\right\}:\epsilon -> \hat{f}(\epsilon) := \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega\epsilon t}dt = F(\omega)


Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

\mathfrak{F}^{-1}\left\{{F(\omega)}\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = f(t)


Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

Transformada de Fourier


\mathfrak{F}\left\{{f(t)}\right\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt = F(\omega)


Transformada Inversa de Fourier


\mathfrak{F}^{-1}\left\{{F(\omega)}\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = f(t)



Transformada de Fourier de funciones simples


f(t) =\frac {1}{2\pi} \int_{-oo}^{oo} F(jw)e^{jwt} dw  <-->  F(jw) = \int_{-oo}^{oo} f(t)e^{jwt} dt

 F(\omega) = F(t)

TEOREMAS

Teorema1

                          \mathfrak{F}\left\{{e^{-a \left |{t}\right |}}\right\} = \frac{2 a}{a^2 + w^2}

Teorema2

                         \mathfrak{F}\left\{{H(t+a) - H(t-a)}}\right\} =  \frac{2}{w} sen(  \sen{wa})

Teorema3

                         \mathfrak{F}\left\{{\alpha f(t)}}\right\} = \alpha  F(w)

Teorema 4

                         \mathfrak{F}\left\{{\alpha f(t)  +  \beta g(t)}}\right\} = \alpha  F(w)  +  \beta G(w)

Teorema 5

                          \mathfrak{F}\left\{{f(t - t_0)}}\right\} =  e^{-i w t_0} F(w)}

Teorema 6

                         \mathfrak{F}\left\{{e^{i w_0 t}f(t )}}\right\} = F(w - w_0)}

Teorema 7

                         \mathfrak{F}\left\{{f(a t )}}\right\} = \frac{1}{\left |{a}\right |} F(\frac{w}{a})}

Teorema 8

                         \mathfrak{F}\left\{{ -t}}\right\} = F(-w)


Teorema 9

                         \mathfrak{F}\left\{{ \cos{(t w_0 )}f(t)}}\right\} = \frac{1}{2} \left<{F(w + w_0) + F(w -  w_0) }\right>
                          \mathfrak{F}\left\{{  \sen sen {(t w_0 )}f(t)}}\right\} = \frac{i}{2} \left<{F(w + w_0) - F(w -  w_0) }\right>

Teorema 10

                         \mathfrak{F}\left\{{e^{-a t^2}}}\right\} = \sqrt[]{\frac{\pi }{a}} e^\frac{-w^2}{4 a}

Teorema 11

                         \mathfrak{F}\left\{{\frac{1}{a^2 + t^2}}}\right\} = \frac{\pi }{a} e^{-a \left |{w}\right |}

Teorema 12

                         \mathfrak{F}\left\{{H(t)}}\right\} = \frac{1}{iw} +   \pi  \delta(w)

Transformada de Fourier.jpg Transformada de Fourier2.jpg Transformada de Fourier3.jpg

Ejemplo

Encontrar la trasformada de Fourier de la función impulso

 F(j\omega) = F{\delta}

 F(j\omega) =\int_{-oo}^{oo} {\delta}e^{-jwt}

Definición de impulso:

\delta(t)=\begin{cases}
00; si t=0 \\
0 ; si t no es igual 0
\end{cases}

y

  =\int_{-oo}^{oo} {\delta}(t) dt = 1

Ejemplo 1

Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:
f(x) = e^{-a|x|}


SOLUCIÓN:

Por propiedades del valor absoluto se sabe que:
f(x)=\begin{cases}
e^{-ax}; & x=>0 \\
e^{ax} ; & x<0
\end{cases}


Entonces:


 C_{w}= \int_{-00}^{0}e^{ax}*e^{-iwx}dx + \int_{0}^{00}e^{-ax}*e^{-iwx}\;dx

 = \int_{-00}^{0}e^{(a-iw)x} dx + \int_{0}^{00}e^{-(a+iw)x}\;dx

 = \left[ \frac {1} {a-iw} * e^{(a-iw)x}\right]_{-00}^{0} - \left[ \frac {1} {a+iw} * e^{-(a+iw)x}\right]_{0}^{00}

entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe que al evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es cero por lo tanto:

 = \frac{1}{a-iw} + \frac{1}{a+iw}
 = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}


Ejemplo 2

Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?


f(t)=\begin{cases}
0 ; & t<0 \\
e^{-at} ; & t>0
\end{cases}

SOLUCIÓN:

 F[f(t)](w) = \int_{-00}^{00}f(t)* e^{ -iwt} \;dt

 = \int_{0}^{00}e^{ -at}* e^{ -iwt}\;dt

 = \int_{0}^{00}e^{ -(a+iw)t}\;dt

 = \left[ \frac {-1} {a+iw} * e^{-(a+iw)t}\right]_{0}^{00}

 =  \frac {1} {a+iw}

 =  \frac {1} {a+iw} * \frac {a-iw} {a-iw}

 =  \frac {a-iw} {a^{2}+w^{2}}


Ejemplo 3

Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?


f(t)=\begin{cases}
k ; & |t|<=a \\
0 ; & |t|>a
\end{cases}
, donde k y a son constantes


SOLUCIÓN:

 F[f(t)](w) = \int_{-a}^{a}k* e^{ -iwt} \;dt

 = \left[ \frac {-k} {iw} * e^{-iwt}\right]_{-a}^{a}

 =  \frac {-k} {iw} * e^{-iaw} +  \frac {k} {iw} * e^{iaw}

 =  \frac {k} {iw} * \left[ e^{iaw} - e^{-iaw}\right]

Por propiedad de la forma exponencial compleja del Seno se sabe que:

sen(x) = \frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i}

por lo tanto al aplicar la identidad anterior al resultado se obtiene:

 =  \frac {k} {iw} * \left[ 2i sen(aw)\right]

}

Ejemplo4

a.) Demostrar que la transformada de fourier del escalón unitario es F[U(t)] = -i/w

U(t)=\begin{cases}
1 ; & t>0 \\
0 ; & t<0
\end{cases}

Solución:

 F[U(t)] = \int_{0}^{00} e^{ -iwt} \;dt

 = \left[ \frac {-1} {iw} * e^{-iwt}\right]_{0}^{00}


 =  \frac {1} {iw}


 =  \frac {1} {iw} * \frac {-i} {-i}

 =  \frac {-i} {w}

b.) Demostrar que la transformad de Fourier de F[U(t-a)] = \frac {1} {iw} * e^{-iaw}

U(t-a)=\begin{cases}
1 ; & t>a \\
0 ; & t<a
\end{cases}

 F[U(t-a)] = \int_{a}^{00} e^{ -iwt} \;dt

 = \left[ \frac {-1} {iw} * e^{-iwt}\right]_{a}^{00}

 =  \frac {1} {iw} * e^{-iaw}


Ejemplo 5

Encuentre la Transformada de Fourier de  f(t) definida por :

f(t)=\begin{cases}
e^{-\alpha t}; & t > 0 \\
0 ; & t < 0
\end{cases}

Donde  \alpha > 0

Solución :

De Acuerdo con :

  F(\omega) = \mathfrak{F}\left\{{f(t)}\right\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt

Se tiene que


 F(\omega) =  \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt

  = \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}e^{-j\omega t}dt

  = \int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha + j\omega)t}dt

  = \left[ \frac {1} {-(\alpha + jw)}e^{-(\alpha + j\omega)t}dt\right]_{0}^{00}

  = \frac {1} {(\alpha + jw)}


Ejemplo6

f(t)= 5[H(t-3)-H(t-11)]

Esto lo Podemos re-escribir como

5[H(t+4-7)-H(t+3+7)]

entonces

f(w)=5e^{-7i\omega)}\frac{2 sen(4w)}{w}

Ejemplo7

f(t)=5e^{-3(t-5)^{2}} Encuentre su transformada de Fourier

Observamos que hay un corrimiento

entonces la transformada nos queda

f(w)= 5\sqrt{\frac{\pi }{3}}e^{-\frac{\omega ^{2}}{12}}e^{-5i\omega }

Ejemplo8

f(t) = 0.1 – cos(2t)	Encuentre la transformada

f(w)= 2\pi x 0.1 x\delta (w) - [\pi \delta (w-2)+\pi \delta(w+2) ]

Ejemplo9

f(t)= e^{-\alpha t}u(t) encuentre la transformada de Fourier.

\int_{0}^{\infty }e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-t(\alpha +i\omega )}dt

=- \frac{e^{-t(\alpha +i\omega )}}{\alpha +i\omega }[0,\infty ]=\frac{1}{\alpha +i\omega }

Ejemplo10

F(w)=\frac{2}{3-iw} Encontrar la transformada inversa

f(t)= 2e^{-3t}u(t)

Ejemplo11

f(t)= cos(2t)Cos.jpg

F(w)= \pi \delta (w-2)+\pi \delta (w+2)Fou.jpg

Ejemplo12

Demostrar que : F[e^{-w_0t}f_{(t)}] = F(w-w_0)

Partiendo de la definicion \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)} e^{-iw_0t}dt=\hat{f}_{(w)}

= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-iw_0t}f_{(t)} e^{-iwt}dt

=\int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)}e^{-iwt-iw_0t}dt

= \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)}e^{-i(w-w_0)t}dt = \hat{f}(w-w_0)

Por lo tanto demostramos que: F[e^{-w_0t}f_{(t)}] = F(w-w_0)

Ejemplo13

\mathfrak{F}^{-1}\left[\frac{e^{2(w-3)i}}{(w-3)i+5}\right]

= h(t+2)e^{-5(t+2))}e^{i3(t+2)}

= h(t+2)e^{(t+2)(3i-5)}

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