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Transformada de Laplace y Laplace Inversa

De por WikiMatematica.org

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f una función definida para t\geq 0. Entonces se dice que la integral

\pounds \begin{Bmatrix} f(t) \end{Bmatrix} = F(P) = \int_{0}^{\infty }f(t)e^{-Pt}dt

es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral.


Ejemplo: Encuentre la transformada de Laplace de f(t)=t

\pounds \left \{ t \right \}=\int_{0}^{\infty }te^{-Pt}dt

\pounds \begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix} = \left.\begin{matrix} \frac{-te^{-Pt}}{P}\\ \end{matrix}\right| _{0}^{\infty } + \int_{0}^{\infty }\frac{e^{-Pt}}{P}dt=\left.\begin{matrix} \frac{-e^{-Pt}}{P^{2}}\\ \end{matrix}\right|_{0}^{\infty }

\pounds \begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix} = \frac{1}{P^{2}}


Transformadas de algunas funciones básicas

                     \pounds \left \{ 1 \right \}=\frac{1}{P}                             \pounds \left \{ t^{n} \right \}=\frac{n!}{P^{n+1}}
                     \pounds \left \{ e^{at} \right \}=\frac{1}{P-a}
                     \pounds \left \{ \sin (kt) \right \}=\frac{k}{P^{2}+k^{2}}                  \pounds \left \{ \cos (kt) \right \}=\frac{P}{P^{2}+k^{2}}
                     \pounds \left \{ \sinh (kt) \right \}=\frac{k}{P^{2}-k^{2}}                 \pounds \left \{ \cosh (kt) \right \}=\frac{P}{P^{2}-k^{2}}
                     \pounds \left \{ f^{'}(t) \right \}=PF(P)-f(0)             \pounds \left \{f^{(n)}(t) \right \}=P^{(n)}F(P)-P^{(n-1)}f(0)-P^{(n-2)}f(0)-...-f^{(n-1)}(0)
                     \pounds \left \{ e_{at}f(t) \right \}=F(P-a)                 \pounds \left \{ f(t-a)H(t-0) \right \}=e^{-aP}F(P)
                     \pounds \left \{ \int_{0}^{t}f(\tau )d\tau \right \}=\frac{F(P)}{P}  


TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA

Si F(P) representa la transformada de Laplace de una función f(t), se dice que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(P).

Se escribe de la siguiente forma:f(t)=\pounds ^{-1}\left \{ F\left ( P\right )\right \}.

Ejemplo

Transformada <---------------------------------> Transformada inversa

  \pounds\left \{ 1\right \}= \frac{1}{s}                      1=\pounds^{-1}\left \{ \frac{1}{s}\right \}
  \pounds\left \{t^{2} \right \}= \frac{1}{s^{2}}                    t= \pounds ^{-1}\left \{ \frac{1}{s^{2}}\right \}
  \pounds\left \{ e^{-3t}\right \}=\frac{1}{s+3}               e^{-3t}=\pounds^{-1}\left \{\frac{1}{s+3}\right \}


Teorema


(a)   1=\pounds^{-1}\left \{ \frac{1}{s}\right \}

(b) t^{n}= \pounds^{-1}\left \{ \frac{n!}{s^{n+1}}\right \} n=1,2,3,...

(c) e^{at}= \pounds^{-1}\left \{ \frac{1}{s-a}\right \}

(d) sen\left ( kt\right )= \pounds^{-1}\left \{ \frac{k}{s^{2}+k^{2}}\right \}

(e) cos\left ( kt\right )= \pounds^{-1}\left \{ \frac{s}{s^{2}+k^{2}}\right \}

(f)  sen h\left (  kt\right )= \pounds^{-1}\left \{  \frac{k}{s^{2}+k^{2}}\right \}

(g)  cos h\left (  kt\right )= \pounds^{-1}\left \{  \frac{s}{s^{2}-k^{2}}\right \}

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