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Transformada de laplace de funciones periódicas, por WikiMatematica.org
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Transformada de laplace de funciones periódicas

De por WikiMatematica.org



Una funcion periódica por ejemplo


Sen.png

donde f(t)= f(t+kT)

Donde K es una constante y T el periodo de la funcion.

Contenido

Teorema

Sea f(t) una funcion continua por partes en el intervalo [0,\infty ) y de orden exponencial, con periodo T entonces

    \mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt

Ejemplo 1

Seno.png

Aplicamos entonces la definición que tenemos anteriormente:

    \mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt

y sustituimos los valores correspondientes, quedándonos la transformada de Laplace de la siguiente manera:

\mathcal{L}\{ f \} =\frac{1}{1-e^{-6.2s}}\int_{0}^{6.2}e^{-st}sen(t)dt


Resolviendo la integral anterior tenemos:

\mathcal{L}\{ f \} =\frac{(e^{\frac{31s}{5}}-s\cdot sen(\frac{31}{5})-cos(\frac{31}{5}))e^{\frac{-31s}{5}}}{(s^{2}+1)(e^{\frac{-31s}{5}}-1)}

Ejemplo 2

Saw.JPG

Para esta función tenemos que el periodo es 2. También debemos saber cual es la función que estamos evaluando para esto tenemos que:

f(t)= \frac{3}{2}x

Ya sabiendo esto podemos aplicar la integral anteriormente enunciada.

    \mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt

Es decir nuestra integral a evaluar es la siguiente:

\frac{1}{1-e^{-2s}}\int_{0}^{2}e^{-st}\frac{3}{2}tdt

Entonces nuestro resultado queda de la siguiente manera:

\frac{3e^{-2s}}{s(e^{-2s}-1)}+\frac{3e^{-2s}-3}{2s^{2}(e^{-2s}-1)}

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