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Transformada de laplace derivadas

De por WikiMatematica.org


Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.


L{f'(t)} = s L{f(t)} - f(0)

Demostración:
Utilizando la definición de la transformada de Laplace obtenemos:

L{f'(t)}=\int_{0}^{+\infty}e^{-st}f'(t)dt


Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

 \int_{0}^{+\infty}e^{-st}f'(t)dt = \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{0}^{N}e^{-st}f'(t)dt


L{f'(t)}=\int_{0}^{+\infty}e^{-st}f'(t)dt


=\displaystyle\lim_{N \to{}\infty}{\left\{{[e^{-st}]\\_{0}^{N}+S\int_{0}^{N}e^{-st}f'(t)dt{ }}\right\}}


=\displaystyle\lim_{N \to{}\infty}{\left\{{e^{-sP}F(P)-F(0)+S\int_{0}^{P}e^{-st}f'(t)dt{ }}\right\}}


=S\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt{ }}-F(0)


=sf(s)-F(0)


Desarrollo del Teorema:

\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)


\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)


\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)


\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i + 1)}(0)


\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)


    \mathcal{L}\{(e^{t^2})\} (que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que e^{t^2}, no es una función de orden exponencial.

Contenido

Ejemplos

Ejemplo 1

\mathcal{L}\left\{{f^{\prime}{(t)}}}\right\}              sea f^{\prime}{(t)}=1

\mathcal{L}\left\{{f^{\prime}{(t)}}}\right\} = s F(s) - f(0)

\mathcal{L}\left\{{f^{\prime}{(t)}}}\right\} = \mathcal{L}\left\{{{t}}}\right\} - 0

\mathcal{L}\left\{{f^{\prime}{(t)}}}\right\} = s [\frac{1}{s^2}]

\mathcal{L}\left\{{f^{\prime}{(t)}}}\right\} = s^{-1}

Ejemplo2

 y' +3y=13 sen(2t),y(0)=6

Aplicamos transformada de Laplace a toda la Ecuación y obtenemos:

= s Y(s)-y(0)+3Y(s)= 13 \frac{2}{s^2+4}

Agrupamos Y(s)

= Y(s)[s+3]-6 =\frac{26}{s^2+4}

Y(s)= \frac{26}{s^2+4}+6\frac{1}{s+3}

Aplicamos laplace inversa para encontrar y(t)

y(t)= -2 cos(2t) + 3 sen(2t) +8e^{-3t}

Ejemplo 3:

y'' + y = \sqrt{2}sin(\sqrt{2} t)  , y'(0) = 0 , y(0) = 10

Aplicando transf. de Laplace a la ecuacion nos queda

S^2 Y(s) - S y(0) - y'(0) + Y(s) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}} {s^2 + 2})

sustituyendo los valores iniciales, y sacando factor comun Y(s) queda

Y(s)(S^2 + 1) - 10 S = \frac{2}{S^2 + 2}

Y(s) = \frac{10 S^3 + 20 S + 2}{(S^2 + 2)(S^2 + 1)}

por fracciones parciales obtenemos

Y(s) = \frac{-2}{S^2 + 2} + \frac{10 S}{S^2 + 1} + \frac{2}{S^2 + 1}

y aplicando Laplace Inversa para encontrar y(t) obtenemos

y(t) = - \sqrt{2} sin(\sqrt{2} t) + 10 cos(t) + 2 sin(t)

Ejemplo 4:

y'' - 3y' + 2y = e^{-4t}  , y'(0) = 5 , y(0) = 1

Aplicando transf. de Laplace a la ecuacion nos queda

S^2 Y(s) - S y(0) - y'(0) - 3S Y(s) + 3y(0) + 2 Y(s) = \frac{1}{s + 4}

sustituyendo los valores iniciales, y sacando factor comun Y(s) queda

Y(s)(S^2 - 3S + 2) - S - 2 = \frac{1}{s + 4}

Y(s) = [\frac{1}{s + 4} + (S + 2)] * \frac{1}{(S^2 - 3S + 2)}

Y(s) = \frac{1 + (S + 2)(S + 4)}{(S + 4)(S^2 - 3S + 2)}

por fracciones parciales obtenemos

Y(s) = \frac{1}{30(S + 4)} - \frac{16}{5(S - 1)} + \frac{25}{6(S - 2)}

y aplicando Laplace Inversa para encontrar y(t) obtenemos

y(t) = \frac{e^{-4t}}{30} - \frac{16 e^{t}}{5} + \frac{25 e^{2t}}{6}

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