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Transformada inversa de Laplace

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Transformada Inversa de Laplace

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = F(s), donde \mathcal{L} es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.


Forma integral

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}F(s)\,ds,

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s).

Tabla de transformadas mas usadas

Tabla1.jpg

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcular la Antitransformada de Laplace

\mathcal{L}^{-1}{\frac{s}{(s^2 + 4)}}

Puesto que

\mathcal{L}\{Cos(2t)\}= \frac{s}{s^2+4}

por lo tanto tenemos que:

\mathcal{L}^{-1}{{\frac{s}{s^2 + 4}}= {Cos(2t)}

Ejemplo 2

Determinar \mathcal{L}^{-1}{{\frac{3s-1}{s^2+4}}



\mathcal{L}^{-1}{{\frac{3s}{s^2+4}}+{{\frac{-1}{s^2+4}}



3\mathcal{L}^{-1}{{\frac{s}{s^2+4}} - \mathcal{L}^{-1}{{\frac{1}{s^2+4}}



Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos: \mathcal{L}^{-1}{{\frac{3s-1}{s^2+4}}=3cos(2t)-{{\frac{1}{2}sen(2t)}


Ejemplo 3

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{{\frac{3s+5}{s^{2}+7}}}\right\}}

\mathcal{L}^{-1}\left\{{{\frac{3s}{s^{2}+7}+\frac{5}{s^{2}+7}}}\right\}

f(t) = 3 \cos{\sqrt[]{7}t}+ \frac{5}{\sqrt{7}} \sin{\sqrt[]{7}t

Ejemplo 4

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}}\right\}

Por fracciones parciales.....\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+4}= \frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}

A=\frac{1}{15}                    B = \frac{-1}{3}                    C = \frac{1}{10}

\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{\frac{1}{15}}{s-1}-\frac{\frac{1}{3}}{s+2}+\frac{\frac{1}{10}}{s+4}}\right\}

f(t) = \frac{1}{15}e^{t}-\frac{1}{3}e^{-2t}+\frac{1}{10}e^{-4t}

Ejemplo 5

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{s^7}}\right\}

\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{6!}{6! s^7}}\right\}

=\frac{1}{6!}\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{6!}{ s^7}}\right\}

=\frac{1}{6!}t^6

Ejemplo 6

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{k}{s}}\right\}


Dado que \mathcal{L}\left\{{k}\right\} = \frac{k}{s}


obtenemos que \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{k}{s}}\right\} = k

Ejemplo 7

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{6}{s^3}}\right\}

podemos separar el 6 en 2\times 3 y sacamos el 3

3\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2}{s^3}}\right\}

Luego tenemos que \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2}{s^3}}\right\} es de la forma \mathcal{L}\left\{{\frac{n!}{s^{(n+1)}}}\right\}

Por lo que obtenemos que 3\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2}{s^3}}\right\} = 3t^2


Ejemplo 8

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2s-6}{s^2+9}}\right\}

Podemos separar en dos partes

\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2s}{s^2+9}}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{6}{s^2+9}}\right\}

Podemos factorizar un 2 en ambas partes

2\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{s}{s^2+9}}\right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{3}{s^2+9}}\right\}

Por lo que nos queda de la forma \mathcal{L}\left\{coskt}\right\} y \mathcal{L}\left\{sinkt}\right\} respectivamente

Por lo tanto obtenemos que \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2s-6}{s^2+9}}\right\} = 2cos3t-2sin3t


Ejemplo 9

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{e^{2t}cos3t\right\}

obtenemos que

\mathcal{L}\left\{cos3t\right\} = \frac{s}{s^2+9}

restamos el corrimiento y obtenemos

\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{2t}cos3t\right\} = \frac{s-2}{(s-2)^2+9}

Ejemplo 10

Determinar \mathcal{L}^{-1}\left\{{4!/s^5\right\}

obtenemos que

\mathcal{L}^{-1}\left\{4!/s^5\right\} = {t^4}

Ejemplo 11

Calcular la Transformada de Laplace

\mathcal{L}^{-1}\{{1}/{(s^2 + 16)}\}

Puesto que

\mathcal{L}\{Sen(4t)\}= \frac{4}{s^2+16}

por lo tanto tenemos que:

\mathcal{L}^{-1}\{{1}/{(s^2 + 4)}\}= {(1/4)Sen(4t)}

Ejemplo 12

Calcular \mathcal{L}^{-1}{{\{{s}/{(s^2 + 2s -3)}\}}

Aplicando conpletacion al cuadrado obtenemso los siguiente. \mathcal{L}^{-1}{{\{{s}/{((s^2 +1)^{2} - 4)}\}}

Ahora expresando la ecuacion como \mathcal{L}^{-1}{{\frac{s+1}{((s^2 +1)^{2} - 4)} + {\{{1}/{((s^2 +1)^{2} - 4)}\}}

finalmente aplicando las transformadas inversas basicas q conocemos obtenemos que:

e^{-t}\cos(2t) - \frac{1}{2} \sinh(2t)e^{-t}

Ejemplo 13

Calcule \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{s^2+64}}\right\}

\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{s^2+64}}\right\}

=\frac{1}{8}\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{8}{ s^2+64}}\right\}

=\frac{1}{8}sen(8t)

Ejemplo 14

Calcule\mathcal{L}^{-1}\{{s+1}/{s^{2}(s+2)^{3}\}

Suponga que \frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}= \frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}} y utilizando Fracciones parciales encontramos los valores de nuestas constantes.

A=-^\frac{1}{16} C=^\frac{1}{16} D=0 B=^\frac{1}{8} E=-^\frac{1}{4}

ya que tenemos nuestros valores tenemos que


\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}= \frac{-\frac{1}{16}}{s}+\frac{\frac{1}{8}}{s^{2}}+\frac{\frac{1}{16}}{s+2}-\frac{\frac{1}{4}}{(s+2)^{3}}


=-\frac{1}{16}+\frac{1}{8}t+\frac{1}{16}e^{-2t}-\frac{1}{8}t^{2}e^{-2t}

Ejemplo 15

Calcular la transformada inversa de Laplace

\mathcal{L}^{-1}\frac{2}{s(s-3)}

identificamos que \mathcal{L}^{-1}\frac{1}{s-3}=e^{3t}

Entonces


2\int_{0}^{t}e^{3\tau }d\tau=2(\frac{e^{3\tau}}{3 }) valuada de 0 a T


= \frac{2}{3}e^{3T}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}[e^{3T}-1]

Ejemplo 16

Calcular: \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{s^2+4}}\right\}

\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{s^2+4}}\right\}

=\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2}{ s^2+4}}\right\}

=\frac{1}{2}sen(4t)

Ejemplo 17

Calcular: \mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{s}{s^2+64}}\right\}

\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{1}{s^2+4}}\right\}

=\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{{\frac{2}{ s^2+4}}\right\}

=\frac{1}{2}sen(4t)

Videos Transformada de Laplace


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